Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20405 / 28739
↖ ↑ ↗
← S 79.308756°
E 44.176025°		 ← 226.63 m → S 79.308756°
E 44.187012°		 →
↑
226.62 m
↓
↑
226.62 m
↓
S 79.310794°
E 44.176025°		 ← 226.59 m →
51 354 m²		 S 79.310794°
E 44.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622726440429688 y=0.877059936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622726440429688 × 215)
    floor (0.622726440429688 × 32768)
    floor (20405.5)     		tx = 20405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877059936523438 × 215)
    floor (0.877059936523438 × 32768)
    floor (28739.5)     		ty = 28739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20405 / 28739 ti = "15/20405/28739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20405/28739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20405 ÷ 215
    20405 ÷ 32768     		x = 0.622711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28739 ÷ 215
    28739 ÷ 32768     		y = 0.877044677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622711181640625 × 2 - 1) × π
    0.24542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77101709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877044677734375 × 2 - 1) × π
    -0.75408935546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36904157922317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77101709} λ = 0.77101709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36904157922317))-π/2
    2×atan(0.0935703630963891)-π/2
    2×0.0932987063683878-π/2
    0.186597412736776-1.57079632675     		φ = -1.38419891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77101709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.176025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38419891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.308756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20405 KachelY 28739 0.77101709 -1.38419891 44.176025 -79.308756
    Oben rechts KachelX + 1 20406 KachelY 28739 0.77120884 -1.38419891 44.187012 -79.308756
    Unten links KachelX 20405 KachelY + 1 28740 0.77101709 -1.38423448 44.176025 -79.310794
    Unten rechts KachelX + 1 20406 KachelY + 1 28740 0.77120884 -1.38423448 44.187012 -79.310794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38419891--1.38423448) × R
    3.55699999998738e-05 × 6371000     		dl = 226.616469999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38419891--1.38423448) × R
    3.55699999998738e-05 × 6371000     		dr = 226.616469999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77101709-0.77120884) × cos(-1.38419891) × R
    0.000191750000000046 × 0.185516457043486 × 6371000     		do = 226.634185445315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77101709-0.77120884) × cos(-1.38423448) × R
    0.000191750000000046 × 0.185481504380165 × 6371000     		du = 226.591485899911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38419891)-sin(-1.38423448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185516457043486-0.185481504380165)×R²
    abs(0.77120884-0.77101709)×3.49526633203201e-05×R²
    0.000191750000000046×3.49526633203201e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.49526633203201e-05×40589641000000     		ar = 51354.2008821182m²