Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20404 / 4981
↖ ↑ ↗
← N 77.183997°
E 44.165039°		 ← 270.97 m → N 77.183997°
E 44.176025°		 →
↑
271.02 m
↓
↑
271.02 m
↓
N 77.181560°
E 44.165039°		 ← 271.02 m →
73 446 m²		 N 77.181560°
E 44.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622695922851562 y=0.152023315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622695922851562 × 215)
    floor (0.622695922851562 × 32768)
    floor (20404.5)     		tx = 20404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152023315429688 × 215)
    floor (0.152023315429688 × 32768)
    floor (4981.5)     		ty = 4981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20404 / 4981 ti = "15/20404/4981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20404/4981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20404 ÷ 215
    20404 ÷ 32768     		x = 0.6226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4981 ÷ 215
    4981 ÷ 32768     		y = 0.152008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152008056640625 × 2 - 1) × π
    0.69598388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18649786547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77082535} λ = 0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18649786547))-π/2
    2×atan(8.90397552736076)-π/2
    2×1.45895560275573-π/2
    2.91791120551145-1.57079632675     		φ = 1.34711488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34711488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.183997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20404 KachelY 4981 0.77082535 1.34711488 44.165039 77.183997
    Oben rechts KachelX + 1 20405 KachelY 4981 0.77101709 1.34711488 44.176025 77.183997
    Unten links KachelX 20404 KachelY + 1 4982 0.77082535 1.34707234 44.165039 77.181560
    Unten rechts KachelX + 1 20405 KachelY + 1 4982 0.77101709 1.34707234 44.176025 77.181560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34711488-1.34707234) × R
    4.25399999999243e-05 × 6371000     		dl = 271.022339999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34711488-1.34707234) × R
    4.25399999999243e-05 × 6371000     		dr = 271.022339999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77082535-0.77101709) × cos(1.34711488) × R
    0.000191739999999996 × 0.221820850665606 × 6371000     		do = 270.970925435091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77082535-0.77101709) × cos(1.34707234) × R
    0.000191739999999996 × 0.221862330684463 × 6371000     		du = 271.021596411526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34711488)-sin(1.34707234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221820850665606-0.221862330684463)×R²
    abs(0.77101709-0.77082535)×4.1480018857204e-05×R²
    0.000191739999999996×4.1480018857204e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.1480018857204e-05×40589641000000     		ar = 73446.0407780445m²