Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20404 / 4972
↖ ↑ ↗
← N 77.205912°
E 44.165039°		 ← 270.52 m → N 77.205912°
E 44.176025°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
N 77.203478°
E 44.165039°		 ← 270.57 m →
73 202 m²		 N 77.203478°
E 44.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622695922851562 y=0.151748657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622695922851562 × 215)
    floor (0.622695922851562 × 32768)
    floor (20404.5)     		tx = 20404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151748657226562 × 215)
    floor (0.151748657226562 × 32768)
    floor (4972.5)     		ty = 4972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20404 / 4972 ti = "15/20404/4972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20404/4972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20404 ÷ 215
    20404 ÷ 32768     		x = 0.6226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4972 ÷ 215
    4972 ÷ 32768     		y = 0.1517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1517333984375 × 2 - 1) × π
    0.696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18822359385632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77082535} λ = 0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18822359385632))-π/2
    2×atan(8.91935463694567)-π/2
    2×1.45914684307286-π/2
    2.91829368614571-1.57079632675     		φ = 1.34749736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34749736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.205912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20404 KachelY 4972 0.77082535 1.34749736 44.165039 77.205912
    Oben rechts KachelX + 1 20405 KachelY 4972 0.77101709 1.34749736 44.176025 77.205912
    Unten links KachelX 20404 KachelY + 1 4973 0.77082535 1.34745489 44.165039 77.203478
    Unten rechts KachelX + 1 20405 KachelY + 1 4973 0.77101709 1.34745489 44.176025 77.203478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34749736-1.34745489) × R
    4.24699999999056e-05 × 6371000     		dl = 270.576369999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34749736-1.34745489) × R
    4.24699999999056e-05 × 6371000     		dr = 270.576369999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77082535-0.77101709) × cos(1.34749736) × R
    0.000191739999999996 × 0.221447883006523 × 6371000     		do = 270.515317265544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77082535-0.77101709) × cos(1.34745489) × R
    0.000191739999999996 × 0.221489298370468 × 6371000     		du = 270.56590926112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34749736)-sin(1.34745489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221447883006523-0.221489298370468)×R²
    abs(0.77101709-0.77082535)×4.14153639452242e-05×R²
    0.000191739999999996×4.14153639452242e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.14153639452242e-05×40589641000000     		ar = 73201.8970850259m²