Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20404 / 4964
↖ ↑ ↗
← N 77.225360°
E 44.165039°		 ← 270.11 m → N 77.225360°
E 44.176025°		 →
↑
270.13 m
↓
↑
270.13 m
↓
N 77.222931°
E 44.165039°		 ← 270.16 m →
72 972 m²		 N 77.222931°
E 44.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622695922851562 y=0.151504516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622695922851562 × 215)
    floor (0.622695922851562 × 32768)
    floor (20404.5)     		tx = 20404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151504516601562 × 215)
    floor (0.151504516601562 × 32768)
    floor (4964.5)     		ty = 4964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20404 / 4964 ti = "15/20404/4964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20404/4964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20404 ÷ 215
    20404 ÷ 32768     		x = 0.6226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4964 ÷ 215
    4964 ÷ 32768     		y = 0.1514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1514892578125 × 2 - 1) × π
    0.697021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18975757464416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77082535} λ = 0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18975757464416))-π/2
    2×atan(8.93304725502021)-π/2
    2×1.4593165644947-π/2
    2.9186331289894-1.57079632675     		φ = 1.34783680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34783680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.225360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20404 KachelY 4964 0.77082535 1.34783680 44.165039 77.225360
    Oben rechts KachelX + 1 20405 KachelY 4964 0.77101709 1.34783680 44.176025 77.225360
    Unten links KachelX 20404 KachelY + 1 4965 0.77082535 1.34779440 44.165039 77.222931
    Unten rechts KachelX + 1 20405 KachelY + 1 4965 0.77101709 1.34779440 44.176025 77.222931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34783680-1.34779440) × R
    4.2400000000109e-05 × 6371000     		dl = 270.130400000695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34783680-1.34779440) × R
    4.2400000000109e-05 × 6371000     		dr = 270.130400000695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77082535-0.77101709) × cos(1.34783680) × R
    0.000191739999999996 × 0.221116857801062 × 6371000     		do = 270.11094497143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77082535-0.77101709) × cos(1.34779440) × R
    0.000191739999999996 × 0.221158208088661 × 6371000     		du = 270.161457471332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34783680)-sin(1.34779440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221116857801062-0.221158208088661)×R²
    abs(0.77101709-0.77082535)×4.13502875988292e-05×R²
    0.000191739999999996×4.13502875988292e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.13502875988292e-05×40589641000000     		ar = 72972.0001015621m²