Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20404 / 28787
↖ ↑ ↗
← S 79.406146°
E 44.165039°		 ← 224.58 m → S 79.406146°
E 44.176025°		 →
↑
224.58 m
↓
↑
224.58 m
↓
S 79.408165°
E 44.165039°		 ← 224.54 m →
50 431 m²		 S 79.408165°
E 44.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622695922851562 y=0.878524780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622695922851562 × 215)
    floor (0.622695922851562 × 32768)
    floor (20404.5)     		tx = 20404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878524780273438 × 215)
    floor (0.878524780273438 × 32768)
    floor (28787.5)     		ty = 28787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20404 / 28787 ti = "15/20404/28787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20404/28787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20404 ÷ 215
    20404 ÷ 32768     		x = 0.6226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28787 ÷ 215
    28787 ÷ 32768     		y = 0.878509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.75701904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37824546395023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77082535} λ = 0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37824546395023))-π/2
    2×atan(0.092713103372061)-π/2
    2×0.0924488197854799-π/2
    0.18489763957096-1.57079632675     		φ = -1.38589869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38589869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.406146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20404 KachelY 28787 0.77082535 -1.38589869 44.165039 -79.406146
    Oben rechts KachelX + 1 20405 KachelY 28787 0.77101709 -1.38589869 44.176025 -79.406146
    Unten links KachelX 20404 KachelY + 1 28788 0.77082535 -1.38593394 44.165039 -79.408165
    Unten rechts KachelX + 1 20405 KachelY + 1 28788 0.77101709 -1.38593394 44.176025 -79.408165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38589869--1.38593394) × R
    3.52499999998201e-05 × 6371000     		dl = 224.577749998854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38589869--1.38593394) × R
    3.52499999998201e-05 × 6371000     		dr = 224.577749998854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77082535-0.77101709) × cos(-1.38589869) × R
    0.000191739999999996 × 0.183845916059473 × 6371000     		do = 224.581674187141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77082535-0.77101709) × cos(-1.38593394) × R
    0.000191739999999996 × 0.183811266778873 × 6371000     		du = 224.539347473481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38589869)-sin(-1.38593394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183845916059473-0.183811266778873)×R²
    abs(0.77101709-0.77082535)×3.46492806006793e-05×R²
    0.000191739999999996×3.46492806006793e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.46492806006793e-05×40589641000000     		ar = 50431.2942663166m²