Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20403 / 5091
↖ ↑ ↗
← N 76.913153°
E 44.154053°		 ← 276.61 m → N 76.913153°
E 44.165039°		 →
↑
276.63 m
↓
↑
276.63 m
↓
N 76.910665°
E 44.154053°		 ← 276.66 m →
76 526 m²		 N 76.910665°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622665405273438 y=0.155380249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622665405273438 × 215)
    floor (0.622665405273438 × 32768)
    floor (20403.5)     		tx = 20403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155380249023438 × 215)
    floor (0.155380249023438 × 32768)
    floor (5091.5)     		ty = 5091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20403 / 5091 ti = "15/20403/5091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20403/5091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20403 ÷ 215
    20403 ÷ 32768     		x = 0.622650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5091 ÷ 215
    5091 ÷ 32768     		y = 0.155364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622650146484375 × 2 - 1) × π
    0.24530029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77063360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155364990234375 × 2 - 1) × π
    0.68927001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16540562963718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77063360} λ = 0.77063360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16540562963718))-π/2
    2×atan(8.71813753469212)-π/2
    2×1.45659204045015-π/2
    2.91318408090031-1.57079632675     		φ = 1.34238775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77063360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.154053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34238775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.913153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20403 KachelY 5091 0.77063360 1.34238775 44.154053 76.913153
    Oben rechts KachelX + 1 20404 KachelY 5091 0.77082535 1.34238775 44.165039 76.913153
    Unten links KachelX 20403 KachelY + 1 5092 0.77063360 1.34234433 44.154053 76.910665
    Unten rechts KachelX + 1 20404 KachelY + 1 5092 0.77082535 1.34234433 44.165039 76.910665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34238775-1.34234433) × R
    4.34200000001272e-05 × 6371000     		dl = 276.628820000811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34238775-1.34234433) × R
    4.34200000001272e-05 × 6371000     		dr = 276.628820000811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77063360-0.77082535) × cos(1.34238775) × R
    0.000191749999999935 × 0.226427720203157 × 6371000     		do = 276.612990288101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77063360-0.77082535) × cos(1.34234433) × R
    0.000191749999999935 × 0.226470012284186 × 6371000     		du = 276.66465595425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34238775)-sin(1.34234433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226427720203157-0.226470012284186)×R²
    abs(0.77082535-0.77063360)×4.22920810289051e-05×R²
    0.000191749999999935×4.22920810289051e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.22920810289051e-05×40589641000000     		ar = 76526.2712179766m²