Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20403 / 4907
↖ ↑ ↗
← N 77.363093°
E 44.154053°		 ← 267.26 m → N 77.363093°
E 44.165039°		 →
↑
267.33 m
↓
↑
267.33 m
↓
N 77.360689°
E 44.154053°		 ← 267.31 m →
71 453 m²		 N 77.360689°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622665405273438 y=0.149765014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622665405273438 × 215)
    floor (0.622665405273438 × 32768)
    floor (20403.5)     		tx = 20403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149765014648438 × 215)
    floor (0.149765014648438 × 32768)
    floor (4907.5)     		ty = 4907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20403 / 4907 ti = "15/20403/4907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20403/4907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20403 ÷ 215
    20403 ÷ 32768     		x = 0.622650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4907 ÷ 215
    4907 ÷ 32768     		y = 0.149749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622650146484375 × 2 - 1) × π
    0.24530029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77063360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149749755859375 × 2 - 1) × π
    0.70050048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20068718775754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77063360} λ = 0.77063360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20068718775754))-π/2
    2×atan(9.03121750963833)-π/2
    2×1.4605185069923-π/2
    2.92103701398461-1.57079632675     		φ = 1.35024069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77063360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.154053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35024069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.363093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20403 KachelY 4907 0.77063360 1.35024069 44.154053 77.363093
    Oben rechts KachelX + 1 20404 KachelY 4907 0.77082535 1.35024069 44.165039 77.363093
    Unten links KachelX 20403 KachelY + 1 4908 0.77063360 1.35019873 44.154053 77.360689
    Unten rechts KachelX + 1 20404 KachelY + 1 4908 0.77082535 1.35019873 44.165039 77.360689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35024069-1.35019873) × R
    4.19599999998965e-05 × 6371000     		dl = 267.327159999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35024069-1.35019873) × R
    4.19599999998965e-05 × 6371000     		dr = 267.327159999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77063360-0.77082535) × cos(1.35024069) × R
    0.000191749999999935 × 0.218771833896602 × 6371000     		do = 267.260259082479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77063360-0.77082535) × cos(1.35019873) × R
    0.000191749999999935 × 0.218812777266734 × 6371000     		du = 267.31027711046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35024069)-sin(1.35019873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218771833896602-0.218812777266734)×R²
    abs(0.77082535-0.77063360)×4.094337013269e-05×R²
    0.000191749999999935×4.094337013269e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.094337013269e-05×40589641000000     		ar = 71452.611639559m²