Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20403 / 28743
↖ ↑ ↗
← S 79.316905°
E 44.154053°		 ← 226.46 m → S 79.316905°
E 44.165039°		 →
↑
226.43 m
↓
↑
226.43 m
↓
S 79.318942°
E 44.154053°		 ← 226.42 m →
51 272 m²		 S 79.318942°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622665405273438 y=0.877182006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622665405273438 × 215)
    floor (0.622665405273438 × 32768)
    floor (20403.5)     		tx = 20403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877182006835938 × 215)
    floor (0.877182006835938 × 32768)
    floor (28743.5)     		ty = 28743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20403 / 28743 ti = "15/20403/28743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20403/28743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20403 ÷ 215
    20403 ÷ 32768     		x = 0.622650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28743 ÷ 215
    28743 ÷ 32768     		y = 0.877166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622650146484375 × 2 - 1) × π
    0.24530029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77063360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.75433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.3698085696171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77063360} λ = 0.77063360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3698085696171))-π/2
    2×atan(0.0934986230422216)-π/2
    2×0.0932275885032158-π/2
    0.186455177006432-1.57079632675     		φ = -1.38434115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77063360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.154053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38434115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.316905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20403 KachelY 28743 0.77063360 -1.38434115 44.154053 -79.316905
    Oben rechts KachelX + 1 20404 KachelY 28743 0.77082535 -1.38434115 44.165039 -79.316905
    Unten links KachelX 20403 KachelY + 1 28744 0.77063360 -1.38437669 44.154053 -79.318942
    Unten rechts KachelX + 1 20404 KachelY + 1 28744 0.77082535 -1.38437669 44.165039 -79.318942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38434115--1.38437669) × R
    3.55400000000561e-05 × 6371000     		dl = 226.425340000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38434115--1.38437669) × R
    3.55400000000561e-05 × 6371000     		dr = 226.425340000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77063360-0.77082535) × cos(-1.38434115) × R
    0.000191749999999935 × 0.185376684289027 × 6371000     		do = 226.463433562257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77063360-0.77082535) × cos(-1.38437669) × R
    0.000191749999999935 × 0.185341760167756 × 6371000     		du = 226.420768884941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38434115)-sin(-1.38437669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185376684289027-0.185341760167756)×R²
    abs(0.77082535-0.77063360)×3.49241212709295e-05×R²
    0.000191749999999935×3.49241212709295e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.49241212709295e-05×40589641000000     		ar = 51272.2297649548m²