Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20402 / 4910
↖ ↑ ↗
← N 77.355880°
E 44.143066°		 ← 267.41 m → N 77.355880°
E 44.154053°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
N 77.353475°
E 44.143066°		 ← 267.46 m →
71 510 m²		 N 77.353475°
E 44.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622634887695312 y=0.149856567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622634887695312 × 215)
    floor (0.622634887695312 × 32768)
    floor (20402.5)     		tx = 20402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149856567382812 × 215)
    floor (0.149856567382812 × 32768)
    floor (4910.5)     		ty = 4910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20402 / 4910 ti = "15/20402/4910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20402/4910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20402 ÷ 215
    20402 ÷ 32768     		x = 0.62261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4910 ÷ 215
    4910 ÷ 32768     		y = 0.14984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62261962890625 × 2 - 1) × π
    0.2452392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77044185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14984130859375 × 2 - 1) × π
    0.7003173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2001119449621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77044185} λ = 0.77044185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2001119449621))-π/2
    2×atan(9.02602386077962)-π/2
    2×1.460455565868-π/2
    2.92091113173601-1.57079632675     		φ = 1.35011480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77044185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.143066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35011480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.355880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20402 KachelY 4910 0.77044185 1.35011480 44.143066 77.355880
    Oben rechts KachelX + 1 20403 KachelY 4910 0.77063360 1.35011480 44.154053 77.355880
    Unten links KachelX 20402 KachelY + 1 4911 0.77044185 1.35007283 44.143066 77.353475
    Unten rechts KachelX + 1 20403 KachelY + 1 4911 0.77063360 1.35007283 44.154053 77.353475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35011480-1.35007283) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dl = 267.390870000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35011480-1.35007283) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dr = 267.390870000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77044185-0.77063360) × cos(1.35011480) × R
    0.000191750000000046 × 0.21889467260866 × 6371000     		do = 267.410323674703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77044185-0.77063360) × cos(1.35007283) × R
    0.000191750000000046 × 0.218935624580125 × 6371000     		du = 267.46035221041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35011480)-sin(1.35007283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21889467260866-0.218935624580125)×R²
    abs(0.77063360-0.77044185)×4.09519714651696e-05×R²
    0.000191750000000046×4.09519714651696e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.09519714651696e-05×40589641000000     		ar = 71509.767692022m²