Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20402 / 4275
↖ ↑ ↗
← N 78.795577°
E 44.143066°		 ← 237.38 m → N 78.795577°
E 44.154053°		 →
↑
237.38 m
↓
↑
237.38 m
↓
N 78.793442°
E 44.143066°		 ← 237.42 m →
56 355 m²		 N 78.793442°
E 44.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622634887695312 y=0.130477905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622634887695312 × 215)
    floor (0.622634887695312 × 32768)
    floor (20402.5)     		tx = 20402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130477905273438 × 215)
    floor (0.130477905273438 × 32768)
    floor (4275.5)     		ty = 4275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20402 / 4275 ti = "15/20402/4275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20402/4275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20402 ÷ 215
    20402 ÷ 32768     		x = 0.62261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4275 ÷ 215
    4275 ÷ 32768     		y = 0.130462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62261962890625 × 2 - 1) × π
    0.2452392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77044185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130462646484375 × 2 - 1) × π
    0.73907470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32187166999704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77044185} λ = 0.77044185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32187166999704))-π/2
    2×atan(10.1947376449462)-π/2
    2×1.47301929524047-π/2
    2.94603859048095-1.57079632675     		φ = 1.37524226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77044185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.143066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37524226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.795577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20402 KachelY 4275 0.77044185 1.37524226 44.143066 78.795577
    Oben rechts KachelX + 1 20403 KachelY 4275 0.77063360 1.37524226 44.154053 78.795577
    Unten links KachelX 20402 KachelY + 1 4276 0.77044185 1.37520500 44.143066 78.793442
    Unten rechts KachelX + 1 20403 KachelY + 1 4276 0.77063360 1.37520500 44.154053 78.793442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37524226-1.37520500) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dl = 237.383460000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37524226-1.37520500) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dr = 237.383460000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77044185-0.77063360) × cos(1.37524226) × R
    0.000191750000000046 × 0.194310071130324 × 6371000     		do = 237.376809563152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77044185-0.77063360) × cos(1.37520500) × R
    0.000191750000000046 × 0.194346620825772 × 6371000     		du = 237.421460105688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37524226)-sin(1.37520500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194310071130324-0.194346620825772)×R²
    abs(0.77063360-0.77044185)×3.65496954484734e-05×R²
    0.000191750000000046×3.65496954484734e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.65496954484734e-05×40589641000000     		ar = 56354.6280347988m²