Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20402 / 28764
↖ ↑ ↗
← S 79.359590°
E 44.143066°		 ← 225.57 m → S 79.359590°
E 44.154053°		 →
↑
225.53 m
↓
↑
225.53 m
↓
S 79.361618°
E 44.143066°		 ← 225.53 m →
50 869 m²		 S 79.361618°
E 44.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622634887695312 y=0.877822875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622634887695312 × 215)
    floor (0.622634887695312 × 32768)
    floor (20402.5)     		tx = 20402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877822875976562 × 215)
    floor (0.877822875976562 × 32768)
    floor (28764.5)     		ty = 28764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20402 / 28764 ti = "15/20402/28764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20402/28764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20402 ÷ 215
    20402 ÷ 32768     		x = 0.62261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28764 ÷ 215
    28764 ÷ 32768     		y = 0.8778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62261962890625 × 2 - 1) × π
    0.2452392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77044185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37383526918518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77044185} λ = 0.77044185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37383526918518))-π/2
    2×atan(0.0931228891686029)-π/2
    2×0.0928550978714685-π/2
    0.185710195742937-1.57079632675     		φ = -1.38508613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77044185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.143066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38508613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.359590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20402 KachelY 28764 0.77044185 -1.38508613 44.143066 -79.359590
    Oben rechts KachelX + 1 20403 KachelY 28764 0.77063360 -1.38508613 44.154053 -79.359590
    Unten links KachelX 20402 KachelY + 1 28765 0.77044185 -1.38512153 44.143066 -79.361618
    Unten rechts KachelX + 1 20403 KachelY + 1 28765 0.77063360 -1.38512153 44.154053 -79.361618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38508613--1.38512153) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dl = 225.533400000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38508613--1.38512153) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dr = 225.533400000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77044185-0.77063360) × cos(-1.38508613) × R
    0.000191750000000046 × 0.184644565254717 × 6371000     		do = 225.569048214402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77044185-0.77063360) × cos(-1.38512153) × R
    0.000191750000000046 × 0.184609773829125 × 6371000     		du = 225.526545643337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38508613)-sin(-1.38512153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184644565254717-0.184609773829125)×R²
    abs(0.77063360-0.77044185)×3.47914255912352e-05×R²
    0.000191750000000046×3.47914255912352e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.47914255912352e-05×40589641000000     		ar = 50868.5615089206m²