Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20401 / 4977
↖ ↑ ↗
← N 77.193741°
E 44.132080°		 ← 270.78 m → N 77.193741°
E 44.143066°		 →
↑
270.83 m
↓
↑
270.83 m
↓
N 77.191306°
E 44.132080°		 ← 270.83 m →
73 343 m²		 N 77.191306°
E 44.143066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622604370117188 y=0.151901245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622604370117188 × 215)
    floor (0.622604370117188 × 32768)
    floor (20401.5)     		tx = 20401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151901245117188 × 215)
    floor (0.151901245117188 × 32768)
    floor (4977.5)     		ty = 4977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20401 / 4977 ti = "15/20401/4977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20401/4977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20401 ÷ 215
    20401 ÷ 32768     		x = 0.622589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4977 ÷ 215
    4977 ÷ 32768     		y = 0.151885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622589111328125 × 2 - 1) × π
    0.24517822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77025010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151885986328125 × 2 - 1) × π
    0.69622802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18726485586392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77025010} λ = 0.77025010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18726485586392))-π/2
    2×atan(8.91080741071749)-π/2
    2×1.45904063818438-π/2
    2.91808127636877-1.57079632675     		φ = 1.34728495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77025010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34728495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.193741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20401 KachelY 4977 0.77025010 1.34728495 44.132080 77.193741
    Oben rechts KachelX + 1 20402 KachelY 4977 0.77044185 1.34728495 44.143066 77.193741
    Unten links KachelX 20401 KachelY + 1 4978 0.77025010 1.34724244 44.132080 77.191306
    Unten rechts KachelX + 1 20402 KachelY + 1 4978 0.77044185 1.34724244 44.143066 77.191306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34728495-1.34724244) × R
    4.25099999998846e-05 × 6371000     		dl = 270.831209999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34728495-1.34724244) × R
    4.25099999998846e-05 × 6371000     		dr = 270.831209999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77025010-0.77044185) × cos(1.34728495) × R
    0.000191749999999935 × 0.221655014338007 × 6371000     		do = 270.782465474531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77025010-0.77044185) × cos(1.34724244) × R
    0.000191749999999935 × 0.221696466707767 × 6371000     		du = 270.833105316435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34728495)-sin(1.34724244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221655014338007-0.221696466707767)×R²
    abs(0.77044185-0.77025010)×4.14523697602476e-05×R²
    0.000191749999999935×4.14523697602476e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.14523697602476e-05×40589641000000     		ar = 73343.2002073084m²