Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20399 / 5001
↖ ↑ ↗
← N 77.135166°
E 44.110108°		 ← 272 m → N 77.135166°
E 44.121094°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
N 77.132720°
E 44.110108°		 ← 272.05 m →
73 985 m²		 N 77.132720°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622543334960938 y=0.152633666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622543334960938 × 215)
    floor (0.622543334960938 × 32768)
    floor (20399.5)     		tx = 20399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152633666992188 × 215)
    floor (0.152633666992188 × 32768)
    floor (5001.5)     		ty = 5001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20399 / 5001 ti = "15/20399/5001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20399/5001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20399 ÷ 215
    20399 ÷ 32768     		x = 0.622528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5001 ÷ 215
    5001 ÷ 32768     		y = 0.152618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622528076171875 × 2 - 1) × π
    0.24505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76986661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152618408203125 × 2 - 1) × π
    0.69476318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1826629135004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76986661} λ = 0.76986661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1826629135004))-π/2
    2×atan(8.86989460000315)-π/2
    2×1.45852947040472-π/2
    2.91705894080943-1.57079632675     		φ = 1.34626261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76986661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.110108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34626261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.135166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20399 KachelY 5001 0.76986661 1.34626261 44.110108 77.135166
    Oben rechts KachelX + 1 20400 KachelY 5001 0.77005836 1.34626261 44.121094 77.135166
    Unten links KachelX 20399 KachelY + 1 5002 0.76986661 1.34621992 44.110108 77.132720
    Unten rechts KachelX + 1 20400 KachelY + 1 5002 0.77005836 1.34621992 44.121094 77.132720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34626261-1.34621992) × R
    4.26899999999009e-05 × 6371000     		dl = 271.977989999368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34626261-1.34621992) × R
    4.26899999999009e-05 × 6371000     		dr = 271.977989999368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76986661-0.77005836) × cos(1.34626261) × R
    0.000191750000000046 × 0.222651807773761 × 6371000     		do = 272.000187459947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76986661-0.77005836) × cos(1.34621992) × R
    0.000191750000000046 × 0.222693425967843 × 6371000     		du = 272.051029879352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34626261)-sin(1.34621992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222651807773761-0.222693425967843)×R²
    abs(0.77005836-0.76986661)×4.16181940823823e-05×R²
    0.000191750000000046×4.16181940823823e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.16181940823823e-05×40589641000000     		ar = 73984.9782861803m²