Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20399 / 4913
↖ ↑ ↗
← N 77.348663°
E 44.110108°		 ← 267.56 m → N 77.348663°
E 44.121094°		 →
↑
267.58 m
↓
↑
267.58 m
↓
N 77.346257°
E 44.110108°		 ← 267.61 m →
71 601 m²		 N 77.346257°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622543334960938 y=0.149948120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622543334960938 × 215)
    floor (0.622543334960938 × 32768)
    floor (20399.5)     		tx = 20399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149948120117188 × 215)
    floor (0.149948120117188 × 32768)
    floor (4913.5)     		ty = 4913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20399 / 4913 ti = "15/20399/4913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20399/4913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20399 ÷ 215
    20399 ÷ 32768     		x = 0.622528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4913 ÷ 215
    4913 ÷ 32768     		y = 0.149932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622528076171875 × 2 - 1) × π
    0.24505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76986661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149932861328125 × 2 - 1) × π
    0.70013427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19953670216666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76986661} λ = 0.76986661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19953670216666))-π/2
    2×atan(9.02083319867085)-π/2
    2×1.46039258940542-π/2
    2.92078517881084-1.57079632675     		φ = 1.34998885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76986661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.110108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34998885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.348663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20399 KachelY 4913 0.76986661 1.34998885 44.110108 77.348663
    Oben rechts KachelX + 1 20400 KachelY 4913 0.77005836 1.34998885 44.121094 77.348663
    Unten links KachelX 20399 KachelY + 1 4914 0.76986661 1.34994685 44.110108 77.346257
    Unten rechts KachelX + 1 20400 KachelY + 1 4914 0.77005836 1.34994685 44.121094 77.346257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34998885-1.34994685) × R
    4.19999999998755e-05 × 6371000     		dl = 267.581999999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34998885-1.34994685) × R
    4.19999999998755e-05 × 6371000     		dr = 267.581999999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76986661-0.77005836) × cos(1.34998885) × R
    0.000191750000000046 × 0.219017566394867 × 6371000     		do = 267.560455547515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76986661-0.77005836) × cos(1.34994685) × R
    0.000191750000000046 × 0.219058546480147 × 6371000     		du = 267.610518428161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34998885)-sin(1.34994685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219017566394867-0.219058546480147)×R²
    abs(0.77005836-0.76986661)×4.09800852796682e-05×R²
    0.000191750000000046×4.09800852796682e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.09800852796682e-05×40589641000000     		ar = 71601.0597890642m²