Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20399 / 4911
↖ ↑ ↗
← N 77.353475°
E 44.110108°		 ← 267.46 m → N 77.353475°
E 44.121094°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
N 77.351069°
E 44.110108°		 ← 267.51 m →
71 557 m²		 N 77.351069°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622543334960938 y=0.149887084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622543334960938 × 215)
    floor (0.622543334960938 × 32768)
    floor (20399.5)     		tx = 20399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149887084960938 × 215)
    floor (0.149887084960938 × 32768)
    floor (4911.5)     		ty = 4911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20399 / 4911 ti = "15/20399/4911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20399/4911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20399 ÷ 215
    20399 ÷ 32768     		x = 0.622528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4911 ÷ 215
    4911 ÷ 32768     		y = 0.149871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622528076171875 × 2 - 1) × π
    0.24505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76986661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149871826171875 × 2 - 1) × π
    0.70025634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19992019736362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76986661} λ = 0.76986661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19992019736362))-π/2
    2×atan(9.02429330830043)-π/2
    2×1.46043457764121-π/2
    2.92086915528243-1.57079632675     		φ = 1.35007283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76986661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.110108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35007283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.353475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20399 KachelY 4911 0.76986661 1.35007283 44.110108 77.353475
    Oben rechts KachelX + 1 20400 KachelY 4911 0.77005836 1.35007283 44.121094 77.353475
    Unten links KachelX 20399 KachelY + 1 4912 0.76986661 1.35003084 44.110108 77.351069
    Unten rechts KachelX + 1 20400 KachelY + 1 4912 0.77005836 1.35003084 44.121094 77.351069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35007283-1.35003084) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dl = 267.518289999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35007283-1.35003084) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dr = 267.518289999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76986661-0.77005836) × cos(1.35007283) × R
    0.000191750000000046 × 0.218935624580125 × 6371000     		do = 267.46035221041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76986661-0.77005836) × cos(1.35003084) × R
    0.000191750000000046 × 0.218976595680542 × 6371000     		du = 267.510404114794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35007283)-sin(1.35003084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218935624580125-0.218976595680542)×R²
    abs(0.77005836-0.76986661)×4.09711004163982e-05×R²
    0.000191750000000046×4.09711004163982e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.09711004163982e-05×40589641000000     		ar = 71557.2309761458m²