Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20399 / 28761
↖ ↑ ↗
← S 79.353502°
E 44.110108°		 ← 225.70 m → S 79.353502°
E 44.121094°		 →
↑
225.66 m
↓
↑
225.66 m
↓
S 79.355532°
E 44.110108°		 ← 225.65 m →
50 926 m²		 S 79.355532°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622543334960938 y=0.877731323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622543334960938 × 215)
    floor (0.622543334960938 × 32768)
    floor (20399.5)     		tx = 20399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877731323242188 × 215)
    floor (0.877731323242188 × 32768)
    floor (28761.5)     		ty = 28761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20399 / 28761 ti = "15/20399/28761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20399/28761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20399 ÷ 215
    20399 ÷ 32768     		x = 0.622528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28761 ÷ 215
    28761 ÷ 32768     		y = 0.877716064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622528076171875 × 2 - 1) × π
    0.24505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76986661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.75543212890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37326002638974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76986661} λ = 0.76986661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37326002638974))-π/2
    2×atan(0.0931764728500235)-π/2
    2×0.0929082206141129-π/2
    0.185816441228226-1.57079632675     		φ = -1.38497989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76986661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.110108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38497989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.353502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20399 KachelY 28761 0.76986661 -1.38497989 44.110108 -79.353502
    Oben rechts KachelX + 1 20400 KachelY 28761 0.77005836 -1.38497989 44.121094 -79.353502
    Unten links KachelX 20399 KachelY + 1 28762 0.76986661 -1.38501531 44.110108 -79.355532
    Unten rechts KachelX + 1 20400 KachelY + 1 28762 0.77005836 -1.38501531 44.121094 -79.355532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38497989--1.38501531) × R
    3.54199999998972e-05 × 6371000     		dl = 225.660819999345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38497989--1.38501531) × R
    3.54199999998972e-05 × 6371000     		dr = 225.660819999345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76986661-0.77005836) × cos(-1.38497989) × R
    0.000191750000000046 × 0.18474897745441 × 6371000     		do = 225.696602255727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76986661-0.77005836) × cos(-1.38501531) × R
    0.000191750000000046 × 0.184714167067534 × 6371000     		du = 225.654076520811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38497989)-sin(-1.38501531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18474897745441-0.184714167067534)×R²
    abs(0.77005836-0.76986661)×3.48103868768601e-05×R²
    0.000191750000000046×3.48103868768601e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.48103868768601e-05×40589641000000     		ar = 50926.0821449187m²