Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20399 / 28747
↖ ↑ ↗
← S 79.325049°
E 44.110108°		 ← 226.29 m → S 79.325049°
E 44.121094°		 →
↑
226.23 m
↓
↑
226.23 m
↓
S 79.327083°
E 44.110108°		 ← 226.25 m →
51 190 m²		 S 79.327083°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622543334960938 y=0.877304077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622543334960938 × 215)
    floor (0.622543334960938 × 32768)
    floor (20399.5)     		tx = 20399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877304077148438 × 215)
    floor (0.877304077148438 × 32768)
    floor (28747.5)     		ty = 28747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20399 / 28747 ti = "15/20399/28747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20399/28747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20399 ÷ 215
    20399 ÷ 32768     		x = 0.622528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28747 ÷ 215
    28747 ÷ 32768     		y = 0.877288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622528076171875 × 2 - 1) × π
    0.24505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76986661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.75457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37057556001102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76986661} λ = 0.76986661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37057556001102))-π/2
    2×atan(0.0934269379908905)-π/2
    2×0.0931565242191395-π/2
    0.186313048438279-1.57079632675     		φ = -1.38448328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76986661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.110108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38448328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.325049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20399 KachelY 28747 0.76986661 -1.38448328 44.110108 -79.325049
    Oben rechts KachelX + 1 20400 KachelY 28747 0.77005836 -1.38448328 44.121094 -79.325049
    Unten links KachelX 20399 KachelY + 1 28748 0.76986661 -1.38451879 44.110108 -79.327083
    Unten rechts KachelX + 1 20400 KachelY + 1 28748 0.77005836 -1.38451879 44.121094 -79.327083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38448328--1.38451879) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dl = 226.234210000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38448328--1.38451879) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dr = 226.234210000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76986661-0.77005836) × cos(-1.38448328) × R
    0.000191750000000046 × 0.185237015880315 × 6371000     		do = 226.29280915232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76986661-0.77005836) × cos(-1.38451879) × R
    0.000191750000000046 × 0.185202120304105 × 6371000     		du = 226.250179346771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38448328)-sin(-1.38451879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185237015880315-0.185202120304105)×R²
    abs(0.77005836-0.76986661)×3.48955762096426e-05×R²
    0.000191750000000046×3.48955762096426e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.48955762096426e-05×40589641000000     		ar = 51190.3527528336m²