Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20397 / 4931
↖ ↑ ↗
← N 77.305279°
E 44.088135°		 ← 268.46 m → N 77.305279°
E 44.099121°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
N 77.302865°
E 44.088135°		 ← 268.51 m →
72 082 m²		 N 77.302865°
E 44.099121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622482299804688 y=0.150497436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622482299804688 × 215)
    floor (0.622482299804688 × 32768)
    floor (20397.5)     		tx = 20397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150497436523438 × 215)
    floor (0.150497436523438 × 32768)
    floor (4931.5)     		ty = 4931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20397 / 4931 ti = "15/20397/4931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20397/4931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20397 ÷ 215
    20397 ÷ 32768     		x = 0.622467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4931 ÷ 215
    4931 ÷ 32768     		y = 0.150482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622467041015625 × 2 - 1) × π
    0.24493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76948311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150482177734375 × 2 - 1) × π
    0.69903564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19608524539401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76948311} λ = 0.76948311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19608524539401))-π/2
    2×atan(8.98975185165009)-π/2
    2×1.46001398747026-π/2
    2.92002797494052-1.57079632675     		φ = 1.34923165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76948311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34923165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.305279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20397 KachelY 4931 0.76948311 1.34923165 44.088135 77.305279
    Oben rechts KachelX + 1 20398 KachelY 4931 0.76967486 1.34923165 44.099121 77.305279
    Unten links KachelX 20397 KachelY + 1 4932 0.76948311 1.34918951 44.088135 77.302865
    Unten rechts KachelX + 1 20398 KachelY + 1 4932 0.76967486 1.34918951 44.099121 77.302865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34923165-1.34918951) × R
    4.21399999999128e-05 × 6371000     		dl = 268.473939999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34923165-1.34918951) × R
    4.21399999999128e-05 × 6371000     		dr = 268.473939999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76948311-0.76967486) × cos(1.34923165) × R
    0.000191749999999935 × 0.219756319414683 × 6371000     		do = 268.462945232423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76948311-0.76967486) × cos(1.34918951) × R
    0.000191749999999935 × 0.219797429098657 × 6371000     		du = 268.51316643592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34923165)-sin(1.34918951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219756319414683-0.219797429098657)×R²
    abs(0.76967486-0.76948311)×4.11096839734726e-05×R²
    0.000191749999999935×4.11096839734726e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.11096839734726e-05×40589641000000     		ar = 72082.046202842m²