Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20396 / 28778
↖ ↑ ↗
← S 79.387952°
E 44.077149°		 ← 224.96 m → S 79.387952°
E 44.088135°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
S 79.389975°
E 44.077149°		 ← 224.92 m →
50 603 m²		 S 79.389975°
E 44.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622451782226562 y=0.878250122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622451782226562 × 215)
    floor (0.622451782226562 × 32768)
    floor (20396.5)     		tx = 20396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878250122070312 × 215)
    floor (0.878250122070312 × 32768)
    floor (28778.5)     		ty = 28778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20396 / 28778 ti = "15/20396/28778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20396/28778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20396 ÷ 215
    20396 ÷ 32768     		x = 0.6224365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28778 ÷ 215
    28778 ÷ 32768     		y = 0.87823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6224365234375 × 2 - 1) × π
    0.244873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76929137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.7564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.3765197355639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76929137} λ = 0.76929137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3765197355639))-π/2
    2×atan(0.0928732391420139)-π/2
    2×0.0926075884658511-π/2
    0.185215176931702-1.57079632675     		φ = -1.38558115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76929137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.077149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38558115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.387952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20396 KachelY 28778 0.76929137 -1.38558115 44.077149 -79.387952
    Oben rechts KachelX + 1 20397 KachelY 28778 0.76948311 -1.38558115 44.088135 -79.387952
    Unten links KachelX 20396 KachelY + 1 28779 0.76929137 -1.38561646 44.077149 -79.389975
    Unten rechts KachelX + 1 20397 KachelY + 1 28779 0.76948311 -1.38561646 44.088135 -79.389975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38558115--1.38561646) × R
    3.53100000001216e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38558115--1.38561646) × R
    3.53100000001216e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76929137-0.76948311) × cos(-1.38558115) × R
    0.000191739999999996 × 0.184158034339948 × 6371000     		do = 224.962950244156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76929137-0.76948311) × cos(-1.38561646) × R
    0.000191739999999996 × 0.184123328144551 × 6371000     		du = 224.920554004773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38558115)-sin(-1.38561646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184158034339948-0.184123328144551)×R²
    abs(0.76948311-0.76929137)×3.47061953969163e-05×R²
    0.000191739999999996×3.47061953969163e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.47061953969163e-05×40589641000000     		ar = 50602.8988125485m²