Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20396 / 28749
↖ ↑ ↗
← S 79.329118°
E 44.077149°		 ← 226.20 m → S 79.329118°
E 44.088135°		 →
↑
226.17 m
↓
↑
226.17 m
↓
S 79.331152°
E 44.077149°		 ← 226.15 m →
51 154 m²		 S 79.331152°
E 44.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622451782226562 y=0.877365112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622451782226562 × 215)
    floor (0.622451782226562 × 32768)
    floor (20396.5)     		tx = 20396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877365112304688 × 215)
    floor (0.877365112304688 × 32768)
    floor (28749.5)     		ty = 28749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20396 / 28749 ti = "15/20396/28749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20396/28749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20396 ÷ 215
    20396 ÷ 32768     		x = 0.6224365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28749 ÷ 215
    28749 ÷ 32768     		y = 0.877349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6224365234375 × 2 - 1) × π
    0.244873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76929137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.75469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37095905520798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76929137} λ = 0.76929137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37095905520798))-π/2
    2×atan(0.093391116078109)-π/2
    2×0.0931210121578442-π/2
    0.186242024315688-1.57079632675     		φ = -1.38455430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76929137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.077149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38455430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.329118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20396 KachelY 28749 0.76929137 -1.38455430 44.077149 -79.329118
    Oben rechts KachelX + 1 20397 KachelY 28749 0.76948311 -1.38455430 44.088135 -79.329118
    Unten links KachelX 20396 KachelY + 1 28750 0.76929137 -1.38458980 44.077149 -79.331152
    Unten rechts KachelX + 1 20397 KachelY + 1 28750 0.76948311 -1.38458980 44.088135 -79.331152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38455430--1.38458980) × R
    3.55000000000771e-05 × 6371000     		dl = 226.170500000491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38455430--1.38458980) × R
    3.55000000000771e-05 × 6371000     		dr = 226.170500000491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76929137-0.76948311) × cos(-1.38455430) × R
    0.000191739999999996 × 0.185167224494363 × 6371000     		do = 226.195752251998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76929137-0.76948311) × cos(-1.38458980) × R
    0.000191739999999996 × 0.185132338278268 × 6371000     		du = 226.153136103733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38455430)-sin(-1.38458980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185167224494363-0.185132338278268)×R²
    abs(0.76948311-0.76929137)×3.48862160946817e-05×R²
    0.000191739999999996×3.48862160946817e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.48862160946817e-05×40589641000000     		ar = 51153.9871324608m²