Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20396 / 28746
↖ ↑ ↗
← S 79.323014°
E 44.077149°		 ← 226.32 m → S 79.323014°
E 44.088135°		 →
↑
226.30 m
↓
↑
226.30 m
↓
S 79.325049°
E 44.077149°		 ← 226.28 m →
51 212 m²		 S 79.325049°
E 44.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622451782226562 y=0.877273559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622451782226562 × 215)
    floor (0.622451782226562 × 32768)
    floor (20396.5)     		tx = 20396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877273559570312 × 215)
    floor (0.877273559570312 × 32768)
    floor (28746.5)     		ty = 28746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20396 / 28746 ti = "15/20396/28746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20396/28746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20396 ÷ 215
    20396 ÷ 32768     		x = 0.6224365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28746 ÷ 215
    28746 ÷ 32768     		y = 0.87725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6224365234375 × 2 - 1) × π
    0.244873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76929137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.7545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37038381241254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76929137} λ = 0.76929137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37038381241254))-π/2
    2×atan(0.0934448540995141)-π/2
    2×0.0931742852690605-π/2
    0.186348570538121-1.57079632675     		φ = -1.38444776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76929137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.077149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38444776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.323014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20396 KachelY 28746 0.76929137 -1.38444776 44.077149 -79.323014
    Oben rechts KachelX + 1 20397 KachelY 28746 0.76948311 -1.38444776 44.088135 -79.323014
    Unten links KachelX 20396 KachelY + 1 28747 0.76929137 -1.38448328 44.077149 -79.325049
    Unten rechts KachelX + 1 20397 KachelY + 1 28747 0.76948311 -1.38448328 44.088135 -79.325049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38444776--1.38448328) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dl = 226.297919999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38444776--1.38448328) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dr = 226.297919999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76929137-0.76948311) × cos(-1.38444776) × R
    0.000191739999999996 × 0.185271921049821 × 6371000     		do = 226.323647003267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76929137-0.76948311) × cos(-1.38448328) × R
    0.000191739999999996 × 0.185237015880315 × 6371000     		du = 226.281007701979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38444776)-sin(-1.38448328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185271921049821-0.185237015880315)×R²
    abs(0.76948311-0.76929137)×3.49051695060221e-05×R²
    0.000191739999999996×3.49051695060221e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.49051695060221e-05×40589641000000     		ar = 51211.7459764893m²