Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20395 / 5000
↖ ↑ ↗
← N 77.137612°
E 44.066162°		 ← 271.95 m → N 77.137612°
E 44.077149°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
N 77.135166°
E 44.066162°		 ← 272 m →
73 971 m²		 N 77.135166°
E 44.077149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622421264648438 y=0.152603149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622421264648438 × 215)
    floor (0.622421264648438 × 32768)
    floor (20395.5)     		tx = 20395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152603149414062 × 215)
    floor (0.152603149414062 × 32768)
    floor (5000.5)     		ty = 5000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20395 / 5000 ti = "15/20395/5000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20395/5000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20395 ÷ 215
    20395 ÷ 32768     		x = 0.622406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5000 ÷ 215
    5000 ÷ 32768     		y = 0.152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622406005859375 × 2 - 1) × π
    0.24481201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76909962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152587890625 × 2 - 1) × π
    0.69482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18285466109888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76909962} λ = 0.76909962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18285466109888))-π/2
    2×atan(8.87159554406223)-π/2
    2×1.45855081488398-π/2
    2.91710162976797-1.57079632675     		φ = 1.34630530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76909962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.066162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34630530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.137612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20395 KachelY 5000 0.76909962 1.34630530 44.066162 77.137612
    Oben rechts KachelX + 1 20396 KachelY 5000 0.76929137 1.34630530 44.077149 77.137612
    Unten links KachelX 20395 KachelY + 1 5001 0.76909962 1.34626261 44.066162 77.135166
    Unten rechts KachelX + 1 20396 KachelY + 1 5001 0.76929137 1.34626261 44.077149 77.135166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34630530-1.34626261) × R
    4.26900000001229e-05 × 6371000     		dl = 271.977990000783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34630530-1.34626261) × R
    4.26900000001229e-05 × 6371000     		dr = 271.977990000783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76909962-0.76929137) × cos(1.34630530) × R
    0.000191750000000046 × 0.22261018917391 × 6371000     		do = 271.949344544838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76909962-0.76929137) × cos(1.34626261) × R
    0.000191750000000046 × 0.222651807773761 × 6371000     		du = 272.000187459947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34630530)-sin(1.34626261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22261018917391-0.222651807773761)×R²
    abs(0.76929137-0.76909962)×4.1618599851273e-05×R²
    0.000191750000000046×4.1618599851273e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.1618599851273e-05×40589641000000     		ar = 73971.1501989887m²