Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20394 / 4940
↖ ↑ ↗
← N 77.283532°
E 44.055176°		 ← 268.92 m → N 77.283532°
E 44.066162°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
N 77.281113°
E 44.055176°		 ← 268.97 m →
72 323 m²		 N 77.281113°
E 44.066162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622390747070312 y=0.150772094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622390747070312 × 215)
    floor (0.622390747070312 × 32768)
    floor (20394.5)     		tx = 20394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150772094726562 × 215)
    floor (0.150772094726562 × 32768)
    floor (4940.5)     		ty = 4940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20394 / 4940 ti = "15/20394/4940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20394/4940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20394 ÷ 215
    20394 ÷ 32768     		x = 0.62237548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4940 ÷ 215
    4940 ÷ 32768     		y = 0.1507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62237548828125 × 2 - 1) × π
    0.2447509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76890787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1507568359375 × 2 - 1) × π
    0.698486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19435951700769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76890787} λ = 0.76890787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19435951700769))-π/2
    2×atan(8.9742513603595)-π/2
    2×1.45982420790784-π/2
    2.91964841581568-1.57079632675     		φ = 1.34885209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76890787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.055176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34885209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.283532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20394 KachelY 4940 0.76890787 1.34885209 44.055176 77.283532
    Oben rechts KachelX + 1 20395 KachelY 4940 0.76909962 1.34885209 44.066162 77.283532
    Unten links KachelX 20394 KachelY + 1 4941 0.76890787 1.34880988 44.055176 77.281113
    Unten rechts KachelX + 1 20395 KachelY + 1 4941 0.76909962 1.34880988 44.066162 77.281113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34885209-1.34880988) × R
    4.22100000001535e-05 × 6371000     		dl = 268.919910000978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34885209-1.34880988) × R
    4.22100000001535e-05 × 6371000     		dr = 268.919910000978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76890787-0.76909962) × cos(1.34885209) × R
    0.000191749999999935 × 0.220126585154493 × 6371000     		do = 268.915276393105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76890787-0.76909962) × cos(1.34880988) × R
    0.000191749999999935 × 0.220167759602592 × 6371000     		du = 268.965576714999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34885209)-sin(1.34880988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220126585154493-0.220167759602592)×R²
    abs(0.76909962-0.76890787)×4.11744480986465e-05×R²
    0.000191749999999935×4.11744480986465e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.11744480986465e-05×40589641000000     		ar = 72323.4353154392m²