Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20392 / 28785
↖ ↑ ↗
← S 79.402105°
E 44.033203°		 ← 224.68 m → S 79.402105°
E 44.044189°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 79.404126°
E 44.033203°		 ← 224.64 m →
50 467 m²		 S 79.404126°
E 44.044189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622329711914062 y=0.878463745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622329711914062 × 215)
    floor (0.622329711914062 × 32768)
    floor (20392.5)     		tx = 20392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878463745117188 × 215)
    floor (0.878463745117188 × 32768)
    floor (28785.5)     		ty = 28785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20392 / 28785 ti = "15/20392/28785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20392/28785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20392 ÷ 215
    20392 ÷ 32768     		x = 0.622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28785 ÷ 215
    28785 ÷ 32768     		y = 0.878448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622314453125 × 2 - 1) × π
    0.24462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76852437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.75689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37786196875327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76852437} λ = 0.76852437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37786196875327))-π/2
    2×atan(0.0927486652203627)-π/2
    2×0.0924840784439776-π/2
    0.184968156887955-1.57079632675     		φ = -1.38582817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76852437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38582817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.402105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20392 KachelY 28785 0.76852437 -1.38582817 44.033203 -79.402105
    Oben rechts KachelX + 1 20393 KachelY 28785 0.76871612 -1.38582817 44.044189 -79.402105
    Unten links KachelX 20392 KachelY + 1 28786 0.76852437 -1.38586343 44.033203 -79.404126
    Unten rechts KachelX + 1 20393 KachelY + 1 28786 0.76871612 -1.38586343 44.044189 -79.404126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38582817--1.38586343) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38582817--1.38586343) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76852437-0.76871612) × cos(-1.38582817) × R
    0.000191750000000046 × 0.183915233594154 × 6371000     		do = 224.678068031591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76852437-0.76871612) × cos(-1.38586343) × R
    0.000191750000000046 × 0.18388057494112 × 6371000     		du = 224.635727660693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38582817)-sin(-1.38586343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183915233594154-0.18388057494112)×R²
    abs(0.76871612-0.76852437)×3.46586530339532e-05×R²
    0.000191750000000046×3.46586530339532e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.46586530339532e-05×40589641000000     		ar = 50467.2535358892m²