Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20391 / 28784
↖ ↑ ↗
← S 79.400084°
E 44.022217°		 ← 224.71 m → S 79.400084°
E 44.033203°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
S 79.402105°
E 44.022217°		 ← 224.67 m →
50 488 m²		 S 79.402105°
E 44.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622299194335938 y=0.878433227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622299194335938 × 215)
    floor (0.622299194335938 × 32768)
    floor (20391.5)     		tx = 20391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878433227539062 × 215)
    floor (0.878433227539062 × 32768)
    floor (28784.5)     		ty = 28784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20391 / 28784 ti = "15/20391/28784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20391/28784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20391 ÷ 215
    20391 ÷ 32768     		x = 0.622283935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28784 ÷ 215
    28784 ÷ 32768     		y = 0.87841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622283935546875 × 2 - 1) × π
    0.24456787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76833263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87841796875 × 2 - 1) × π
    -0.7568359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76833263} λ = 0.76833263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37767022115479))-π/2
    2×atan(0.0927664512593416)-π/2
    2×0.0925017127579427-π/2
    0.185003425515885-1.57079632675     		φ = -1.38579290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76833263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.022217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38579290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.400084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20391 KachelY 28784 0.76833263 -1.38579290 44.022217 -79.400084
    Oben rechts KachelX + 1 20392 KachelY 28784 0.76852437 -1.38579290 44.033203 -79.400084
    Unten links KachelX 20391 KachelY + 1 28785 0.76833263 -1.38582817 44.022217 -79.402105
    Unten rechts KachelX + 1 20392 KachelY + 1 28785 0.76852437 -1.38582817 44.033203 -79.402105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38579290--1.38582817) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dl = 224.705169999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38579290--1.38582817) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dr = 224.705169999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76833263-0.76852437) × cos(-1.38579290) × R
    0.000191739999999996 × 0.183949901847889 × 6371000     		do = 224.708700682777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76833263-0.76852437) × cos(-1.38582817) × R
    0.000191739999999996 × 0.183915233594154 × 6371000     		du = 224.666350792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38579290)-sin(-1.38582817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183949901847889-0.183915233594154)×R²
    abs(0.76852437-0.76833263)×3.46682537342713e-05×R²
    0.000191739999999996×3.46682537342713e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.46682537342713e-05×40589641000000     		ar = 50488.4486729344m²