Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20390 / 28790
↖ ↑ ↗
← S 79.412203°
E 44.011230°		 ← 224.47 m → S 79.412203°
E 44.022217°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 79.414222°
E 44.011230°		 ← 224.42 m →
50 377 m²		 S 79.414222°
E 44.022217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622268676757812 y=0.878616333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622268676757812 × 215)
    floor (0.622268676757812 × 32768)
    floor (20390.5)     		tx = 20390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878616333007812 × 215)
    floor (0.878616333007812 × 32768)
    floor (28790.5)     		ty = 28790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20390 / 28790 ti = "15/20390/28790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20390/28790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20390 ÷ 215
    20390 ÷ 32768     		x = 0.62225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28790 ÷ 215
    28790 ÷ 32768     		y = 0.87860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62225341796875 × 2 - 1) × π
    0.2445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76814088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.7572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37882070674567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76814088} λ = 0.76814088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37882070674567))-π/2
    2×atan(0.0926597861639435)-π/2
    2×0.0923959567122504-π/2
    0.184791913424501-1.57079632675     		φ = -1.38600441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76814088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.011230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38600441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.412203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20390 KachelY 28790 0.76814088 -1.38600441 44.011230 -79.412203
    Oben rechts KachelX + 1 20391 KachelY 28790 0.76833263 -1.38600441 44.022217 -79.412203
    Unten links KachelX 20390 KachelY + 1 28791 0.76814088 -1.38603964 44.011230 -79.414222
    Unten rechts KachelX + 1 20391 KachelY + 1 28791 0.76833263 -1.38603964 44.022217 -79.414222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38600441--1.38603964) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dl = 224.450329999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38600441--1.38603964) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dr = 224.450329999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76814088-0.76833263) × cos(-1.38600441) × R
    0.000191749999999935 × 0.183741997021758 × 6371000     		do = 224.466435435087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76814088-0.76833263) × cos(-1.38603964) × R
    0.000191749999999935 × 0.18370736671591 × 6371000     		du = 224.424129694223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38600441)-sin(-1.38603964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183741997021758-0.18370736671591)×R²
    abs(0.76833263-0.76814088)×3.46303058486874e-05×R²
    0.000191749999999935×3.46303058486874e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.46303058486874e-05×40589641000000     		ar = 50376.8177435256m²