Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20389 / 4939
↖ ↑ ↗
← N 77.285950°
E 44.000244°		 ← 268.86 m → N 77.285950°
E 44.011230°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
N 77.283532°
E 44.000244°		 ← 268.92 m →
72 293 m²		 N 77.283532°
E 44.011230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622238159179688 y=0.150741577148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622238159179688 × 215)
    floor (0.622238159179688 × 32768)
    floor (20389.5)     		tx = 20389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150741577148438 × 215)
    floor (0.150741577148438 × 32768)
    floor (4939.5)     		ty = 4939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20389 / 4939 ti = "15/20389/4939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20389/4939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20389 ÷ 215
    20389 ÷ 32768     		x = 0.622222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4939 ÷ 215
    4939 ÷ 32768     		y = 0.150726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622222900390625 × 2 - 1) × π
    0.24444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76794913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150726318359375 × 2 - 1) × π
    0.69854736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19455126460617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76794913} λ = 0.76794913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19455126460617))-π/2
    2×atan(8.97597231649534)-π/2
    2×1.45984531030636-π/2
    2.91969062061271-1.57079632675     		φ = 1.34889429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76794913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.000244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34889429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.285950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20389 KachelY 4939 0.76794913 1.34889429 44.000244 77.285950
    Oben rechts KachelX + 1 20390 KachelY 4939 0.76814088 1.34889429 44.011230 77.285950
    Unten links KachelX 20389 KachelY + 1 4940 0.76794913 1.34885209 44.000244 77.283532
    Unten rechts KachelX + 1 20390 KachelY + 1 4940 0.76814088 1.34885209 44.011230 77.283532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34889429-1.34885209) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34889429-1.34885209) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76794913-0.76814088) × cos(1.34889429) × R
    0.000191750000000046 × 0.220085420069005 × 6371000     		do = 268.864987509098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76794913-0.76814088) × cos(1.34885209) × R
    0.000191750000000046 × 0.220126585154493 × 6371000     		du = 268.915276393261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34889429)-sin(1.34885209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220085420069005-0.220126585154493)×R²
    abs(0.76814088-0.76794913)×4.11650854884871e-05×R²
    0.000191750000000046×4.11650854884871e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.11650854884871e-05×40589641000000     		ar = 72292.7791047307m²