Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20387 / 28789
↖ ↑ ↗
← S 79.410185°
E 43.978272°		 ← 224.50 m → S 79.410185°
E 43.989258°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 79.412203°
E 43.978272°		 ← 224.45 m →
50 384 m²		 S 79.412203°
E 43.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622177124023438 y=0.878585815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622177124023438 × 215)
    floor (0.622177124023438 × 32768)
    floor (20387.5)     		tx = 20387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878585815429688 × 215)
    floor (0.878585815429688 × 32768)
    floor (28789.5)     		ty = 28789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20387 / 28789 ti = "15/20387/28789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20387/28789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20387 ÷ 215
    20387 ÷ 32768     		x = 0.622161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28789 ÷ 215
    28789 ÷ 32768     		y = 0.878570556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622161865234375 × 2 - 1) × π
    0.24432373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76756564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878570556640625 × 2 - 1) × π
    -0.75714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37862895914719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76756564} λ = 0.76756564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37862895914719))-π/2
    2×atan(0.0926775551589427)-π/2
    2×0.0924135744155302-π/2
    0.18482714883106-1.57079632675     		φ = -1.38596918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76756564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.978272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38596918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.410185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20387 KachelY 28789 0.76756564 -1.38596918 43.978272 -79.410185
    Oben rechts KachelX + 1 20388 KachelY 28789 0.76775738 -1.38596918 43.989258 -79.410185
    Unten links KachelX 20387 KachelY + 1 28790 0.76756564 -1.38600441 43.978272 -79.412203
    Unten rechts KachelX + 1 20388 KachelY + 1 28790 0.76775738 -1.38600441 43.989258 -79.412203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38596918--1.38600441) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dl = 224.450329999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38596918--1.38600441) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dr = 224.450329999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76756564-0.76775738) × cos(-1.38596918) × R
    0.000191739999999996 × 0.183776627099555 × 6371000     		do = 224.497032488513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76756564-0.76775738) × cos(-1.38600441) × R
    0.000191739999999996 × 0.183741997021758 × 6371000     		du = 224.454729232528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38596918)-sin(-1.38600441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183776627099555-0.183741997021758)×R²
    abs(0.76775738-0.76756564)×3.46300777968045e-05×R²
    0.000191739999999996×3.46300777968045e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.46300777968045e-05×40589641000000     		ar = 50383.6855409847m²