Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20384 / 28809
↖ ↑ ↗
← S 79.450489°
E 43.945312°		 ← 223.66 m → S 79.450489°
E 43.956299°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
S 79.452500°
E 43.945312°		 ← 223.62 m →
50 011 m²		 S 79.452500°
E 43.956299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622085571289062 y=0.879196166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622085571289062 × 215)
    floor (0.622085571289062 × 32768)
    floor (20384.5)     		tx = 20384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879196166992188 × 215)
    floor (0.879196166992188 × 32768)
    floor (28809.5)     		ty = 28809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20384 / 28809 ti = "15/20384/28809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20384/28809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20384 ÷ 215
    20384 ÷ 32768     		x = 0.6220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28809 ÷ 215
    28809 ÷ 32768     		y = 0.879180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6220703125 × 2 - 1) × π
    0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.75836181640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38246391111679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76699039} λ = 0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38246391111679))-π/2
    2×atan(0.0923228218136693)-π/2
    2×0.0920618505236345-π/2
    0.184123701047269-1.57079632675     		φ = -1.38667263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38667263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.450489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20384 KachelY 28809 0.76699039 -1.38667263 43.945312 -79.450489
    Oben rechts KachelX + 1 20385 KachelY 28809 0.76718214 -1.38667263 43.956299 -79.450489
    Unten links KachelX 20384 KachelY + 1 28810 0.76699039 -1.38670773 43.945312 -79.452500
    Unten rechts KachelX + 1 20385 KachelY + 1 28810 0.76718214 -1.38670773 43.956299 -79.452500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38667263--1.38670773) × R
    3.50999999998436e-05 × 6371000     		dl = 223.622099999004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38667263--1.38670773) × R
    3.50999999998436e-05 × 6371000     		dr = 223.622099999004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76699039-0.76718214) × cos(-1.38667263) × R
    0.000191749999999935 × 0.183085112824502 × 6371000     		do = 223.663959917014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76699039-0.76718214) × cos(-1.38670773) × R
    0.000191749999999935 × 0.183050606004706 × 6371000     		du = 223.621805031559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38667263)-sin(-1.38670773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183085112824502-0.183050606004706)×R²
    abs(0.76718214-0.76699039)×3.45068197958043e-05×R²
    0.000191749999999935×3.45068197958043e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.45068197958043e-05×40589641000000     		ar = 50011.4910343906m²