Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20383 / 28958
↖ ↑ ↗
← N 70.350165°
W124.016419°		 ← 102.71 m → N 70.350165°
W124.013672°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
N 70.349241°
W124.016419°		 ← 102.71 m →
10 548 m²		 N 70.349241°
W124.013672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155513763427734 y=0.220935821533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155513763427734 × 217)
    floor (0.155513763427734 × 131072)
    floor (20383.5)     		tx = 20383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220935821533203 × 217)
    floor (0.220935821533203 × 131072)
    floor (28958.5)     		ty = 28958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20383 / 28958 ti = "17/20383/28958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20383/28958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20383 ÷ 217
    20383 ÷ 131072     		x = 0.155509948730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28958 ÷ 217
    28958 ÷ 131072     		y = 0.220932006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.155509948730469 × 2 - 1) × π
    -0.688980102539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.16449483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220932006835938 × 2 - 1) × π
    0.558135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75343591430241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16449483} λ = -2.16449483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75343591430241))-π/2
    2×atan(5.77440900458344)-π/2
    2×1.39931916622687-π/2
    2.79863833245375-1.57079632675     		φ = 1.22784201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16449483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.016419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22784201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.350165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20383 KachelY 28958 -2.16449483 1.22784201 -124.016419 70.350165
    Oben rechts KachelX + 1 20384 KachelY 28958 -2.16444689 1.22784201 -124.013672 70.350165
    Unten links KachelX 20383 KachelY + 1 28959 -2.16449483 1.22782589 -124.016419 70.349241
    Unten rechts KachelX + 1 20384 KachelY + 1 28959 -2.16444689 1.22782589 -124.013672 70.349241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22784201-1.22782589) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22784201-1.22782589) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16449483--2.16444689) × cos(1.22784201) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.336270828696563 × 6371000     		do = 102.705766695945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16449483--2.16444689) × cos(1.22782589) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.336286009909931 × 6371000     		du = 102.710403429272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22784201)-sin(1.22782589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336270828696563-0.336286009909931)×R²
    abs(-2.16444689--2.16449483)×1.51812133680762e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.51812133680762e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.51812133680762e-05×40589641000000     		ar = 10548.1737443357m²