Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20383 / 28808
↖ ↑ ↗
← S 79.448478°
E 43.934326°		 ← 223.69 m → S 79.448478°
E 43.945312°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
S 79.450489°
E 43.934326°		 ← 223.65 m →
50 033 m²		 S 79.450489°
E 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622055053710938 y=0.879165649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622055053710938 × 215)
    floor (0.622055053710938 × 32768)
    floor (20383.5)     		tx = 20383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879165649414062 × 215)
    floor (0.879165649414062 × 32768)
    floor (28808.5)     		ty = 28808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20383 / 28808 ti = "15/20383/28808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20383/28808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20383 ÷ 215
    20383 ÷ 32768     		x = 0.622039794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28808 ÷ 215
    28808 ÷ 32768     		y = 0.879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622039794921875 × 2 - 1) × π
    0.24407958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76679865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.75830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38227216351831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76679865} λ = 0.76679865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38227216351831))-π/2
    2×atan(0.0923405261903686)-π/2
    2×0.09207940524392-π/2
    0.18415881048784-1.57079632675     		φ = -1.38663752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76679865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38663752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.448478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20383 KachelY 28808 0.76679865 -1.38663752 43.934326 -79.448478
    Oben rechts KachelX + 1 20384 KachelY 28808 0.76699039 -1.38663752 43.945312 -79.448478
    Unten links KachelX 20383 KachelY + 1 28809 0.76679865 -1.38667263 43.934326 -79.450489
    Unten rechts KachelX + 1 20384 KachelY + 1 28809 0.76699039 -1.38667263 43.945312 -79.450489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38663752--1.38667263) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38663752--1.38667263) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76679865-0.76699039) × cos(-1.38663752) × R
    0.000191739999999996 × 0.183119629249642 × 6371000     		do = 223.694459985226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76679865-0.76699039) × cos(-1.38667263) × R
    0.000191739999999996 × 0.183085112824502 × 6371000     		du = 223.652295564547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38663752)-sin(-1.38667263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183119629249642-0.183085112824502)×R²
    abs(0.76699039-0.76679865)×3.45164251396302e-05×R²
    0.000191739999999996×3.45164251396302e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.45164251396302e-05×40589641000000     		ar = 50032.5606877474m²