Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20383 / 28753
↖ ↑ ↗
← S 79.337252°
E 43.934326°		 ← 226.03 m → S 79.337252°
E 43.945312°		 →
↑
226.04 m
↓
↑
226.04 m
↓
S 79.339285°
E 43.934326°		 ← 225.98 m →
51 087 m²		 S 79.339285°
E 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622055053710938 y=0.877487182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622055053710938 × 215)
    floor (0.622055053710938 × 32768)
    floor (20383.5)     		tx = 20383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877487182617188 × 215)
    floor (0.877487182617188 × 32768)
    floor (28753.5)     		ty = 28753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20383 / 28753 ti = "15/20383/28753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20383/28753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20383 ÷ 215
    20383 ÷ 32768     		x = 0.622039794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28753 ÷ 215
    28753 ÷ 32768     		y = 0.877471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622039794921875 × 2 - 1) × π
    0.24407958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76679865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.75494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.3717260456019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76679865} λ = 0.76679865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3717260456019))-π/2
    2×atan(0.0933195134519729)-π/2
    2×0.0930500281724174-π/2
    0.186100056344835-1.57079632675     		φ = -1.38469627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76679865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38469627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.337252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20383 KachelY 28753 0.76679865 -1.38469627 43.934326 -79.337252
    Oben rechts KachelX + 1 20384 KachelY 28753 0.76699039 -1.38469627 43.945312 -79.337252
    Unten links KachelX 20383 KachelY + 1 28754 0.76679865 -1.38473175 43.934326 -79.339285
    Unten rechts KachelX + 1 20384 KachelY + 1 28754 0.76699039 -1.38473175 43.945312 -79.339285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38469627--1.38473175) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dl = 226.043079999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38469627--1.38473175) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dr = 226.043079999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76679865-0.76699039) × cos(-1.38469627) × R
    0.000191739999999996 × 0.185027707712282 × 6371000     		do = 226.025321963588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76679865-0.76699039) × cos(-1.38473175) × R
    0.000191739999999996 × 0.184992840218193 × 6371000     		du = 225.982728685668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38469627)-sin(-1.38473175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185027707712282-0.184992840218193)×R²
    abs(0.76699039-0.76679865)×3.48674940884586e-05×R²
    0.000191739999999996×3.48674940884586e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.48674940884586e-05×40589641000000     		ar = 51086.645981855m²