Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20380 / 5005
↖ ↑ ↗
← N 77.125378°
E 43.901367°		 ← 272.20 m → N 77.125378°
E 43.912353°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
N 77.122930°
E 43.901367°		 ← 272.25 m →
74 110 m²		 N 77.122930°
E 43.912353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621963500976562 y=0.152755737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621963500976562 × 215)
    floor (0.621963500976562 × 32768)
    floor (20380.5)     		tx = 20380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152755737304688 × 215)
    floor (0.152755737304688 × 32768)
    floor (5005.5)     		ty = 5005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20380 / 5005 ti = "15/20380/5005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20380/5005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20380 ÷ 215
    20380 ÷ 32768     		x = 0.6219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5005 ÷ 215
    5005 ÷ 32768     		y = 0.152740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    0.243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76622340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152740478515625 × 2 - 1) × π
    0.69451904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18189592310648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76622340} λ = 0.76622340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18189592310648))-π/2
    2×atan(8.86309408434833)-π/2
    2×1.45844405257668-π/2
    2.91688810515337-1.57079632675     		φ = 1.34609178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76622340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34609178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.125378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20380 KachelY 5005 0.76622340 1.34609178 43.901367 77.125378
    Oben rechts KachelX + 1 20381 KachelY 5005 0.76641515 1.34609178 43.912353 77.125378
    Unten links KachelX 20380 KachelY + 1 5006 0.76622340 1.34604905 43.901367 77.122930
    Unten rechts KachelX + 1 20381 KachelY + 1 5006 0.76641515 1.34604905 43.912353 77.122930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34609178-1.34604905) × R
    4.27300000001019e-05 × 6371000     		dl = 272.232830000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34609178-1.34604905) × R
    4.27300000001019e-05 × 6371000     		dr = 272.232830000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76622340-0.76641515) × cos(1.34609178) × R
    0.000191750000000046 × 0.222818346354919 × 6371000     		do = 272.203637527329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76622340-0.76641515) × cos(1.34604905) × R
    0.000191750000000046 × 0.222860001918521 × 6371000     		du = 272.254525598806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34609178)-sin(1.34604905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222818346354919-0.222860001918521)×R²
    abs(0.76641515-0.76622340)×4.1655563602e-05×R²
    0.000191750000000046×4.1655563602e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.1655563602e-05×40589641000000     		ar = 74109.6932939477m²