Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20380 / 5004
↖ ↑ ↗
← N 77.127826°
E 43.901367°		 ← 272.15 m → N 77.127826°
E 43.912353°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
N 77.125378°
E 43.901367°		 ← 272.20 m →
74 079 m²		 N 77.125378°
E 43.912353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621963500976562 y=0.152725219726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621963500976562 × 215)
    floor (0.621963500976562 × 32768)
    floor (20380.5)     		tx = 20380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152725219726562 × 215)
    floor (0.152725219726562 × 32768)
    floor (5004.5)     		ty = 5004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20380 / 5004 ti = "15/20380/5004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20380/5004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20380 ÷ 215
    20380 ÷ 32768     		x = 0.6219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5004 ÷ 215
    5004 ÷ 32768     		y = 0.1527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    0.243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76622340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1527099609375 × 2 - 1) × π
    0.694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18208767070496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76622340} λ = 0.76622340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18208767070496))-π/2
    2×atan(8.86479372429983)-π/2
    2×1.45846541302175-π/2
    2.9169308260435-1.57079632675     		φ = 1.34613450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76622340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34613450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.127826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20380 KachelY 5004 0.76622340 1.34613450 43.901367 77.127826
    Oben rechts KachelX + 1 20381 KachelY 5004 0.76641515 1.34613450 43.912353 77.127826
    Unten links KachelX 20380 KachelY + 1 5005 0.76622340 1.34609178 43.901367 77.125378
    Unten rechts KachelX + 1 20381 KachelY + 1 5005 0.76641515 1.34609178 43.912353 77.125378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34613450-1.34609178) × R
    4.27199999999406e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34613450-1.34609178) × R
    4.27199999999406e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76622340-0.76641515) × cos(1.34613450) × R
    0.000191750000000046 × 0.222776700133179 × 6371000     		do = 272.152760868237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76622340-0.76641515) × cos(1.34609178) × R
    0.000191750000000046 × 0.222818346354919 × 6371000     		du = 272.203637527329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34613450)-sin(1.34609178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222776700133179-0.222818346354919)×R²
    abs(0.76641515-0.76622340)×4.16462217403823e-05×R²
    0.000191750000000046×4.16462217403823e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.16462217403823e-05×40589641000000     		ar = 74078.500970119m²