Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20380 / 28746
↖ ↑ ↗
← S 79.323014°
E 43.901367°		 ← 226.34 m → S 79.323014°
E 43.912353°		 →
↑
226.30 m
↓
↑
226.30 m
↓
S 79.325049°
E 43.901367°		 ← 226.29 m →
51 214 m²		 S 79.325049°
E 43.912353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621963500976562 y=0.877273559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621963500976562 × 215)
    floor (0.621963500976562 × 32768)
    floor (20380.5)     		tx = 20380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877273559570312 × 215)
    floor (0.877273559570312 × 32768)
    floor (28746.5)     		ty = 28746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20380 / 28746 ti = "15/20380/28746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20380/28746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20380 ÷ 215
    20380 ÷ 32768     		x = 0.6219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28746 ÷ 215
    28746 ÷ 32768     		y = 0.87725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    0.243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76622340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.7545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37038381241254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76622340} λ = 0.76622340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37038381241254))-π/2
    2×atan(0.0934448540995141)-π/2
    2×0.0931742852690605-π/2
    0.186348570538121-1.57079632675     		φ = -1.38444776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76622340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38444776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.323014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20380 KachelY 28746 0.76622340 -1.38444776 43.901367 -79.323014
    Oben rechts KachelX + 1 20381 KachelY 28746 0.76641515 -1.38444776 43.912353 -79.323014
    Unten links KachelX 20380 KachelY + 1 28747 0.76622340 -1.38448328 43.901367 -79.325049
    Unten rechts KachelX + 1 20381 KachelY + 1 28747 0.76641515 -1.38448328 43.912353 -79.325049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38444776--1.38448328) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dl = 226.297919999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38444776--1.38448328) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dr = 226.297919999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76622340-0.76641515) × cos(-1.38444776) × R
    0.000191750000000046 × 0.185271921049821 × 6371000     		do = 226.335450677417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76622340-0.76641515) × cos(-1.38448328) × R
    0.000191750000000046 × 0.185237015880315 × 6371000     		du = 226.29280915232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38444776)-sin(-1.38448328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185271921049821-0.185237015880315)×R²
    abs(0.76641515-0.76622340)×3.49051695060221e-05×R²
    0.000191750000000046×3.49051695060221e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.49051695060221e-05×40589641000000     		ar = 51214.4168717763m²