Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2038 / 988
↖ ↑ ↗
← N 67.742759°
W  0.878906°		 ← 3 701.67 m → N 67.742759°
W  0.791016°		 →
↑
3 704.29 m
↓
↑
3 704.29 m
↓
N 67.709446°
W  0.878906°		 ← 3 706.93 m →
13 721 804 m²		 N 67.709446°
W  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4976806640625 y=0.2413330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4976806640625 × 212)
    floor (0.4976806640625 × 4096)
    floor (2038.5)     		tx = 2038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2413330078125 × 212)
    floor (0.2413330078125 × 4096)
    floor (988.5)     		ty = 988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2038 / 988 ti = "12/2038/988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2038/988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2038 ÷ 212
    2038 ÷ 4096     		x = 0.49755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 988 ÷ 212
    988 ÷ 4096     		y = 0.2412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2412109375 × 2 - 1) × π
    0.517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6260196351123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01533981} λ = -0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6260196351123))-π/2
    2×atan(5.08359981234667)-π/2
    2×1.37656525843791-π/2
    2.75313051687582-1.57079632675     		φ = 1.18233419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18233419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.742759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2038 KachelY 988 -0.01533981 1.18233419 -0.878906 67.742759
    Oben rechts KachelX + 1 2039 KachelY 988 -0.01380583 1.18233419 -0.791016 67.742759
    Unten links KachelX 2038 KachelY + 1 989 -0.01533981 1.18175276 -0.878906 67.709446
    Unten rechts KachelX + 1 2039 KachelY + 1 989 -0.01380583 1.18175276 -0.791016 67.709446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18233419-1.18175276) × R
    0.000581429999999994 × 6371000     		dl = 3704.29052999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18233419-1.18175276) × R
    0.000581429999999994 × 6371000     		dr = 3704.29052999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01533981--0.01380583) × cos(1.18233419) × R
    0.00153398 × 0.378765582495472 × 6371000     		do = 3701.67095469413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01533981--0.01380583) × cos(1.18175276) × R
    0.00153398 × 0.379303627630067 × 6371000     		du = 3706.92926257396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18233419)-sin(1.18175276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378765582495472-0.379303627630067)×R²
    abs(-0.01380583--0.01533981)×0.000538045134594767×R²
    0.00153398×0.000538045134594767×6371000²
    0.00153398×0.000538045134594767×40589641000000     		ar = 13721804.19926m²