Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2038 / 2158
↖ ↑ ↗
← N 78.707714°
W135.219726°		 ← 478.42 m → N 78.707714°
W135.197754°		 →
↑
478.53 m
↓
↑
478.53 m
↓
N 78.703411°
W135.219726°		 ← 478.60 m →
228 977 m²		 N 78.703411°
W135.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124420166015625 y=0.131744384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124420166015625 × 214)
    floor (0.124420166015625 × 16384)
    floor (2038.5)     		tx = 2038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131744384765625 × 214)
    floor (0.131744384765625 × 16384)
    floor (2158.5)     		ty = 2158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2038 / 2158 ti = "14/2038/2158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2038/2158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2038 ÷ 214
    2038 ÷ 16384     		x = 0.1243896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2158 ÷ 214
    2158 ÷ 16384     		y = 0.1317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.36002944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1317138671875 × 2 - 1) × π
    0.736572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31401001845935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36002944} λ = -2.36002944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31401001845935))-π/2
    2×atan(10.1149043918498)-π/2
    2×1.47225254379813-π/2
    2.94450508759626-1.57079632675     		φ = 1.37370876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36002944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37370876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.707714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2038 KachelY 2158 -2.36002944 1.37370876 -135.219726 78.707714
    Oben rechts KachelX + 1 2039 KachelY 2158 -2.35964595 1.37370876 -135.197754 78.707714
    Unten links KachelX 2038 KachelY + 1 2159 -2.36002944 1.37363365 -135.219726 78.703411
    Unten rechts KachelX + 1 2039 KachelY + 1 2159 -2.35964595 1.37363365 -135.197754 78.703411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37370876-1.37363365) × R
    7.51100000000449e-05 × 6371000     		dl = 478.525810000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37370876-1.37363365) × R
    7.51100000000449e-05 × 6371000     		dr = 478.525810000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36002944--2.35964595) × cos(1.37370876) × R
    0.000383489999999931 × 0.195814113803233 × 6371000     		do = 478.415938934717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36002944--2.35964595) × cos(1.37363365) × R
    0.000383489999999931 × 0.195887769198703 × 6371000     		du = 478.595894886291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37370876)-sin(1.37363365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195814113803233-0.195887769198703)×R²
    abs(-2.35964595--2.36002944)×7.36553954695796e-05×R²
    0.000383489999999931×7.36553954695796e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.36553954695796e-05×40589641000000     		ar = 228977.431587289m²