Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20379 / 28745
↖ ↑ ↗
← S 79.320978°
E 43.890381°		 ← 226.37 m → S 79.320978°
E 43.901367°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
S 79.323014°
E 43.890381°		 ← 226.32 m →
51 236 m²		 S 79.323014°
E 43.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621932983398438 y=0.877243041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621932983398438 × 215)
    floor (0.621932983398438 × 32768)
    floor (20379.5)     		tx = 20379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877243041992188 × 215)
    floor (0.877243041992188 × 32768)
    floor (28745.5)     		ty = 28745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20379 / 28745 ti = "15/20379/28745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20379/28745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20379 ÷ 215
    20379 ÷ 32768     		x = 0.621917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28745 ÷ 215
    28745 ÷ 32768     		y = 0.877227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621917724609375 × 2 - 1) × π
    0.24383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76603166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.75445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37019206481406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76603166} λ = 0.76603166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37019206481406))-π/2
    2×atan(0.0934627736438379)-π/2
    2×0.0931920496659747-π/2
    0.186384099331949-1.57079632675     		φ = -1.38441223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76603166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38441223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.320978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20379 KachelY 28745 0.76603166 -1.38441223 43.890381 -79.320978
    Oben rechts KachelX + 1 20380 KachelY 28745 0.76622340 -1.38441223 43.901367 -79.320978
    Unten links KachelX 20379 KachelY + 1 28746 0.76603166 -1.38444776 43.890381 -79.323014
    Unten rechts KachelX + 1 20380 KachelY + 1 28746 0.76622340 -1.38444776 43.901367 -79.323014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38441223--1.38444776) × R
    3.55300000001169e-05 × 6371000     		dl = 226.361630000744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38441223--1.38444776) × R
    3.55300000001169e-05 × 6371000     		dr = 226.361630000744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76603166-0.76622340) × cos(-1.38441223) × R
    0.000191739999999996 × 0.185306835812382 × 6371000     		do = 226.366298023197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76603166-0.76622340) × cos(-1.38444776) × R
    0.000191739999999996 × 0.185271921049821 × 6371000     		du = 226.323647003267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38441223)-sin(-1.38444776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185306835812382-0.185271921049821)×R²
    abs(0.76622340-0.76603166)×3.49147625611779e-05×R²
    0.000191739999999996×3.49147625611779e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.49147625611779e-05×40589641000000     		ar = 51235.8169253611m²