Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20379 / 28715
↖ ↑ ↗
← S 79.259729°
E 43.890381°		 ← 227.65 m → S 79.259729°
E 43.901367°		 →
↑
227.70 m
↓
↑
227.70 m
↓
S 79.261777°
E 43.890381°		 ← 227.61 m →
51 831 m²		 S 79.261777°
E 43.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621932983398438 y=0.876327514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621932983398438 × 215)
    floor (0.621932983398438 × 32768)
    floor (20379.5)     		tx = 20379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876327514648438 × 215)
    floor (0.876327514648438 × 32768)
    floor (28715.5)     		ty = 28715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20379 / 28715 ti = "15/20379/28715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20379/28715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20379 ÷ 215
    20379 ÷ 32768     		x = 0.621917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28715 ÷ 215
    28715 ÷ 32768     		y = 0.876312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621917724609375 × 2 - 1) × π
    0.24383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76603166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876312255859375 × 2 - 1) × π
    -0.75262451171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36443963685965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76603166} λ = 0.76603166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36443963685965))-π/2
    2×atan(0.0940019608465848)-π/2
    2×0.0937265409458964-π/2
    0.187453081891793-1.57079632675     		φ = -1.38334324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76603166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38334324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.259729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20379 KachelY 28715 0.76603166 -1.38334324 43.890381 -79.259729
    Oben rechts KachelX + 1 20380 KachelY 28715 0.76622340 -1.38334324 43.901367 -79.259729
    Unten links KachelX 20379 KachelY + 1 28716 0.76603166 -1.38337898 43.890381 -79.261777
    Unten rechts KachelX + 1 20380 KachelY + 1 28716 0.76622340 -1.38337898 43.901367 -79.261777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38334324--1.38337898) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dl = 227.699539999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38334324--1.38337898) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dr = 227.699539999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76603166-0.76622340) × cos(-1.38334324) × R
    0.000191739999999996 × 0.186357205585118 × 6371000     		do = 227.649404045526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76603166-0.76622340) × cos(-1.38337898) × R
    0.000191739999999996 × 0.186322091557394 × 6371000     		du = 227.606509608148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38334324)-sin(-1.38337898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186357205585118-0.186322091557394)×R²
    abs(0.76622340-0.76603166)×3.5114027723826e-05×R²
    0.000191739999999996×3.5114027723826e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.5114027723826e-05×40589641000000     		ar = 51830.7810664366m²