Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20379 / 28713
↖ ↑ ↗
← S 79.255634°
E 43.890381°		 ← 227.74 m → S 79.255634°
E 43.901367°		 →
↑
227.76 m
↓
↑
227.76 m
↓
S 79.257682°
E 43.890381°		 ← 227.69 m →
51 865 m²		 S 79.257682°
E 43.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621932983398438 y=0.876266479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621932983398438 × 215)
    floor (0.621932983398438 × 32768)
    floor (20379.5)     		tx = 20379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876266479492188 × 215)
    floor (0.876266479492188 × 32768)
    floor (28713.5)     		ty = 28713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20379 / 28713 ti = "15/20379/28713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20379/28713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20379 ÷ 215
    20379 ÷ 32768     		x = 0.621917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28713 ÷ 215
    28713 ÷ 32768     		y = 0.876251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621917724609375 × 2 - 1) × π
    0.24383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76603166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.75250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36405614166269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76603166} λ = 0.76603166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36405614166269))-π/2
    2×atan(0.0940380170603249)-π/2
    2×0.09376228122421-π/2
    0.18752456244842-1.57079632675     		φ = -1.38327176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76603166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38327176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.255634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20379 KachelY 28713 0.76603166 -1.38327176 43.890381 -79.255634
    Oben rechts KachelX + 1 20380 KachelY 28713 0.76622340 -1.38327176 43.901367 -79.255634
    Unten links KachelX 20379 KachelY + 1 28714 0.76603166 -1.38330751 43.890381 -79.257682
    Unten rechts KachelX + 1 20380 KachelY + 1 28714 0.76622340 -1.38330751 43.901367 -79.257682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38327176--1.38330751) × R
    3.57500000001121e-05 × 6371000     		dl = 227.763250000714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38327176--1.38330751) × R
    3.57500000001121e-05 × 6371000     		dr = 227.763250000714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76603166-0.76622340) × cos(-1.38327176) × R
    0.000191739999999996 × 0.186427432926392 × 6371000     		do = 227.735192047866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76603166-0.76622340) × cos(-1.38330751) × R
    0.000191739999999996 × 0.186392309550045 × 6371000     		du = 227.692286190438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38327176)-sin(-1.38330751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186427432926392-0.186392309550045)×R²
    abs(0.76622340-0.76603166)×3.51233763472569e-05×R²
    0.000191739999999996×3.51233763472569e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.51233763472569e-05×40589641000000     		ar = 51864.8212972768m²