Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20377 / 5034
↖ ↑ ↗
← N 77.054194°
E 43.868408°		 ← 273.68 m → N 77.054194°
E 43.879395°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
N 77.051733°
E 43.868408°		 ← 273.73 m →
74 914 m²		 N 77.051733°
E 43.879395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621871948242188 y=0.153640747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621871948242188 × 215)
    floor (0.621871948242188 × 32768)
    floor (20377.5)     		tx = 20377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153640747070312 × 215)
    floor (0.153640747070312 × 32768)
    floor (5034.5)     		ty = 5034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20377 / 5034 ti = "15/20377/5034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20377/5034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20377 ÷ 215
    20377 ÷ 32768     		x = 0.621856689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5034 ÷ 215
    5034 ÷ 32768     		y = 0.15362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621856689453125 × 2 - 1) × π
    0.24371337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76564816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15362548828125 × 2 - 1) × π
    0.6927490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17633524275055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76564816} λ = 0.76564816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17633524275055))-π/2
    2×atan(8.81394602614453)-π/2
    2×1.45782285974445-π/2
    2.91564571948891-1.57079632675     		φ = 1.34484939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76564816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.868408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34484939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.054194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20377 KachelY 5034 0.76564816 1.34484939 43.868408 77.054194
    Oben rechts KachelX + 1 20378 KachelY 5034 0.76583991 1.34484939 43.879395 77.054194
    Unten links KachelX 20377 KachelY + 1 5035 0.76564816 1.34480643 43.868408 77.051733
    Unten rechts KachelX + 1 20378 KachelY + 1 5035 0.76583991 1.34480643 43.879395 77.051733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34484939-1.34480643) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dl = 273.698160000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34484939-1.34480643) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dr = 273.698160000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76564816-0.76583991) × cos(1.34484939) × R
    0.000191749999999935 × 0.224029330372691 × 6371000     		do = 273.683023134403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76564816-0.76583991) × cos(1.34480643) × R
    0.000191749999999935 × 0.224071198225957 × 6371000     		du = 273.734170547266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34484939)-sin(1.34480643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224029330372691-0.224071198225957)×R²
    abs(0.76583991-0.76564816)×4.18678532657368e-05×R²
    0.000191749999999935×4.18678532657368e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.18678532657368e-05×40589641000000     		ar = 74913.539342946m²