Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20377 / 5011
↖ ↑ ↗
← N 77.110682°
E 43.868408°		 ← 272.51 m → N 77.110682°
E 43.879395°		 →
↑
272.55 m
↓
↑
272.55 m
↓
N 77.108231°
E 43.868408°		 ← 272.56 m →
74 280 m²		 N 77.108231°
E 43.879395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621871948242188 y=0.152938842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621871948242188 × 215)
    floor (0.621871948242188 × 32768)
    floor (20377.5)     		tx = 20377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152938842773438 × 215)
    floor (0.152938842773438 × 32768)
    floor (5011.5)     		ty = 5011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20377 / 5011 ti = "15/20377/5011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20377/5011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20377 ÷ 215
    20377 ÷ 32768     		x = 0.621856689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5011 ÷ 215
    5011 ÷ 32768     		y = 0.152923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621856689453125 × 2 - 1) × π
    0.24371337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76564816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152923583984375 × 2 - 1) × π
    0.69415283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18074543751559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76564816} λ = 0.76564816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18074543751559))-π/2
    2×atan(8.85290308573627)-π/2
    2×1.45831580602392-π/2
    2.91663161204785-1.57079632675     		φ = 1.34583529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76564816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.868408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34583529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.110682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20377 KachelY 5011 0.76564816 1.34583529 43.868408 77.110682
    Oben rechts KachelX + 1 20378 KachelY 5011 0.76583991 1.34583529 43.879395 77.110682
    Unten links KachelX 20377 KachelY + 1 5012 0.76564816 1.34579251 43.868408 77.108231
    Unten rechts KachelX + 1 20378 KachelY + 1 5012 0.76583991 1.34579251 43.879395 77.108231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34583529-1.34579251) × R
    4.2779999999798e-05 × 6371000     		dl = 272.551379998713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34583529-1.34579251) × R
    4.2779999999798e-05 × 6371000     		dr = 272.551379998713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76564816-0.76583991) × cos(1.34583529) × R
    0.000191749999999935 × 0.223068380859675 × 6371000     		do = 272.509089492036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76564816-0.76583991) × cos(1.34579251) × R
    0.000191749999999935 × 0.223110082719293 × 6371000     		du = 272.560034120543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34583529)-sin(1.34579251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223068380859675-0.223110082719293)×R²
    abs(0.76583991-0.76564816)×4.1701859617882e-05×R²
    0.000191749999999935×4.1701859617882e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.1701859617882e-05×40589641000000     		ar = 74279.6709285112m²