Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20376 / 28770
↖ ↑ ↗
← S 79.371754°
E 43.857422°		 ← 225.31 m → S 79.371754°
E 43.868408°		 →
↑
225.28 m
↓
↑
225.28 m
↓
S 79.373780°
E 43.857422°		 ← 225.27 m →
50 754 m²		 S 79.373780°
E 43.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621841430664062 y=0.878005981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621841430664062 × 215)
    floor (0.621841430664062 × 32768)
    floor (20376.5)     		tx = 20376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878005981445312 × 215)
    floor (0.878005981445312 × 32768)
    floor (28770.5)     		ty = 28770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20376 / 28770 ti = "15/20376/28770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20376/28770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20376 ÷ 215
    20376 ÷ 32768     		x = 0.621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28770 ÷ 215
    28770 ÷ 32768     		y = 0.87799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621826171875 × 2 - 1) × π
    0.24365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76545641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.7559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37498575477606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76545641} λ = 0.76545641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37498575477606))-π/2
    2×atan(0.0930158142323293)-π/2
    2×0.0927489424434435-π/2
    0.185497884886887-1.57079632675     		φ = -1.38529844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76545641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38529844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.371754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20376 KachelY 28770 0.76545641 -1.38529844 43.857422 -79.371754
    Oben rechts KachelX + 1 20377 KachelY 28770 0.76564816 -1.38529844 43.868408 -79.371754
    Unten links KachelX 20376 KachelY + 1 28771 0.76545641 -1.38533380 43.857422 -79.373780
    Unten rechts KachelX + 1 20377 KachelY + 1 28771 0.76564816 -1.38533380 43.868408 -79.373780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38529844--1.38533380) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dl = 225.278560000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38529844--1.38533380) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dr = 225.278560000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76545641-0.76564816) × cos(-1.38529844) × R
    0.000191750000000046 × 0.184435901687867 × 6371000     		do = 225.314136611094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76545641-0.76564816) × cos(-1.38533380) × R
    0.000191750000000046 × 0.184401148189487 × 6371000     		du = 225.271680373398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38529844)-sin(-1.38533380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184435901687867-0.184401148189487)×R²
    abs(0.76564816-0.76545641)×3.47534983804465e-05×R²
    0.000191750000000046×3.47534983804465e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.47534983804465e-05×40589641000000     		ar = 50753.6620087691m²