Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20374 / 5013
↖ ↑ ↗
← N 77.105779°
E 43.835449°		 ← 272.61 m → N 77.105779°
E 43.846436°		 →
↑
272.62 m
↓
↑
272.62 m
↓
N 77.103328°
E 43.835449°		 ← 272.66 m →
74 325 m²		 N 77.103328°
E 43.846436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621780395507812 y=0.152999877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621780395507812 × 215)
    floor (0.621780395507812 × 32768)
    floor (20374.5)     		tx = 20374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152999877929688 × 215)
    floor (0.152999877929688 × 32768)
    floor (5013.5)     		ty = 5013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20374 / 5013 ti = "15/20374/5013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20374/5013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20374 ÷ 215
    20374 ÷ 32768     		x = 0.62176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5013 ÷ 215
    5013 ÷ 32768     		y = 0.152984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62176513671875 × 2 - 1) × π
    0.2435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76507292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152984619140625 × 2 - 1) × π
    0.69403076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18036194231863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76507292} λ = 0.76507292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18036194231863))-π/2
    2×atan(8.8495086908324)-π/2
    2×1.45827302520084-π/2
    2.91654605040167-1.57079632675     		φ = 1.34574972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76507292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34574972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.105779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20374 KachelY 5013 0.76507292 1.34574972 43.835449 77.105779
    Oben rechts KachelX + 1 20375 KachelY 5013 0.76526467 1.34574972 43.846436 77.105779
    Unten links KachelX 20374 KachelY + 1 5014 0.76507292 1.34570693 43.835449 77.103328
    Unten rechts KachelX + 1 20375 KachelY + 1 5014 0.76526467 1.34570693 43.846436 77.103328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34574972-1.34570693) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dl = 272.61508999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34574972-1.34570693) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dr = 272.61508999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76507292-0.76526467) × cos(1.34574972) × R
    0.000191749999999935 × 0.223151793918429 × 6371000     		do = 272.610990158571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76507292-0.76526467) × cos(1.34570693) × R
    0.000191749999999935 × 0.223193504708976 × 6371000     		du = 272.661945697453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34574972)-sin(1.34570693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223151793918429-0.223193504708976)×R²
    abs(0.76526467-0.76507292)×4.17107905476277e-05×R²
    0.000191749999999935×4.17107905476277e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.17107905476277e-05×40589641000000     		ar = 74324.8152522888m²