Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20374 / 4884
↖ ↑ ↗
← N 77.418254°
E 43.835449°		 ← 266.11 m → N 77.418254°
E 43.846436°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
N 77.415861°
E 43.835449°		 ← 266.16 m →
70 824 m²		 N 77.415861°
E 43.846436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621780395507812 y=0.149063110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621780395507812 × 215)
    floor (0.621780395507812 × 32768)
    floor (20374.5)     		tx = 20374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149063110351562 × 215)
    floor (0.149063110351562 × 32768)
    floor (4884.5)     		ty = 4884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20374 / 4884 ti = "15/20374/4884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20374/4884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20374 ÷ 215
    20374 ÷ 32768     		x = 0.62176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4884 ÷ 215
    4884 ÷ 32768     		y = 0.1490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62176513671875 × 2 - 1) × π
    0.2435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76507292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1490478515625 × 2 - 1) × π
    0.701904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20509738252258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76507292} λ = 0.76507292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20509738252258))-π/2
    2×atan(9.07113489484416)-π/2
    2×1.46099988361014-π/2
    2.92199976722029-1.57079632675     		φ = 1.35120344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76507292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35120344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.418254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20374 KachelY 4884 0.76507292 1.35120344 43.835449 77.418254
    Oben rechts KachelX + 1 20375 KachelY 4884 0.76526467 1.35120344 43.846436 77.418254
    Unten links KachelX 20374 KachelY + 1 4885 0.76507292 1.35116167 43.835449 77.415861
    Unten rechts KachelX + 1 20375 KachelY + 1 4885 0.76526467 1.35116167 43.846436 77.415861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35120344-1.35116167) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dl = 266.116669999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35120344-1.35116167) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dr = 266.116669999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76507292-0.76526467) × cos(1.35120344) × R
    0.000191749999999935 × 0.21783230426858 × 6371000     		do = 266.112492812349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76507292-0.76526467) × cos(1.35116167) × R
    0.000191749999999935 × 0.217873071022639 × 6371000     		du = 266.162295079203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35120344)-sin(1.35116167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21783230426858-0.217873071022639)×R²
    abs(0.76526467-0.76507292)×4.07667540594792e-05×R²
    0.000191749999999935×4.07667540594792e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.07667540594792e-05×40589641000000     		ar = 70823.5970491194m²