Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20374 / 28782
↖ ↑ ↗
← S 79.396042°
E 43.835449°		 ← 224.81 m → S 79.396042°
E 43.846436°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
S 79.398064°
E 43.835449°		 ← 224.76 m →
50 539 m²		 S 79.398064°
E 43.846436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621780395507812 y=0.878372192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621780395507812 × 215)
    floor (0.621780395507812 × 32768)
    floor (20374.5)     		tx = 20374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878372192382812 × 215)
    floor (0.878372192382812 × 32768)
    floor (28782.5)     		ty = 28782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20374 / 28782 ti = "15/20374/28782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20374/28782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20374 ÷ 215
    20374 ÷ 32768     		x = 0.62176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28782 ÷ 215
    28782 ÷ 32768     		y = 0.87835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62176513671875 × 2 - 1) × π
    0.2435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76507292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.7567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37728672595782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76507292} λ = 0.76507292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37728672595782))-π/2
    2×atan(0.0928020335702252)-π/2
    2×0.0925369913583281-π/2
    0.185073982716656-1.57079632675     		φ = -1.38572234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76507292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38572234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.396042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20374 KachelY 28782 0.76507292 -1.38572234 43.835449 -79.396042
    Oben rechts KachelX + 1 20375 KachelY 28782 0.76526467 -1.38572234 43.846436 -79.396042
    Unten links KachelX 20374 KachelY + 1 28783 0.76507292 -1.38575763 43.835449 -79.398064
    Unten rechts KachelX + 1 20375 KachelY + 1 28783 0.76526467 -1.38575763 43.846436 -79.398064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38572234--1.38575763) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38572234--1.38575763) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76507292-0.76526467) × cos(-1.38572234) × R
    0.000191749999999935 × 0.184019257327281 × 6371000     		do = 224.80514750678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76507292-0.76526467) × cos(-1.38575763) × R
    0.000191749999999935 × 0.183984569872794 × 6371000     		du = 224.762771950897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38572234)-sin(-1.38575763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184019257327281-0.183984569872794)×R²
    abs(0.76526467-0.76507292)×3.46874544866482e-05×R²
    0.000191749999999935×3.46874544866482e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.46874544866482e-05×40589641000000     		ar = 50538.7598619543m²