Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20371 / 28721
↖ ↑ ↗
← S 79.272007°
E 43.802491°		 ← 227.39 m → S 79.272007°
E 43.813476°		 →
↑
227.32 m
↓
↑
227.32 m
↓
S 79.274051°
E 43.802491°		 ← 227.35 m →
51 685 m²		 S 79.274051°
E 43.813476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621688842773438 y=0.876510620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621688842773438 × 215)
    floor (0.621688842773438 × 32768)
    floor (20371.5)     		tx = 20371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876510620117188 × 215)
    floor (0.876510620117188 × 32768)
    floor (28721.5)     		ty = 28721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20371 / 28721 ti = "15/20371/28721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20371/28721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20371 ÷ 215
    20371 ÷ 32768     		x = 0.621673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28721 ÷ 215
    28721 ÷ 32768     		y = 0.876495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621673583984375 × 2 - 1) × π
    0.24334716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76449768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.75299072265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36559012245053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76449768} λ = 0.76449768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36559012245053))-π/2
    2×atan(0.0938938751325666)-π/2
    2×0.0936194008729011-π/2
    0.187238801745802-1.57079632675     		φ = -1.38355753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76449768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.802491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38355753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.272007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20371 KachelY 28721 0.76449768 -1.38355753 43.802491 -79.272007
    Oben rechts KachelX + 1 20372 KachelY 28721 0.76468942 -1.38355753 43.813476 -79.272007
    Unten links KachelX 20371 KachelY + 1 28722 0.76449768 -1.38359321 43.802491 -79.274051
    Unten rechts KachelX + 1 20372 KachelY + 1 28722 0.76468942 -1.38359321 43.813476 -79.274051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38355753--1.38359321) × R
    3.56799999998714e-05 × 6371000     		dl = 227.31727999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38355753--1.38359321) × R
    3.56799999998714e-05 × 6371000     		dr = 227.31727999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76449768-0.76468942) × cos(-1.38355753) × R
    0.000191739999999996 × 0.186146665227998 × 6371000     		do = 227.392213095086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76449768-0.76468942) × cos(-1.38359321) × R
    0.000191739999999996 × 0.186111608725673 × 6371000     		du = 227.349388929328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38355753)-sin(-1.38359321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186146665227998-0.186111608725673)×R²
    abs(0.76468942-0.76449768)×3.50565023246596e-05×R²
    0.000191739999999996×3.50565023246596e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.50565023246596e-05×40589641000000     		ar = 51685.3120423169m²