Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2037 / 989
↖ ↑ ↗
← N 67.709446°
W  0.966797°		 ← 3 706.93 m → N 67.709446°
W  0.878906°		 →
↑
3 709.58 m
↓
↑
3 709.58 m
↓
N 67.676085°
W  0.966797°		 ← 3 712.19 m →
13 760 910 m²		 N 67.676085°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4974365234375 y=0.2415771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4974365234375 × 212)
    floor (0.4974365234375 × 4096)
    floor (2037.5)     		tx = 2037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2415771484375 × 212)
    floor (0.2415771484375 × 4096)
    floor (989.5)     		ty = 989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2037 / 989 ti = "12/2037/989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2037/989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2037 ÷ 212
    2037 ÷ 4096     		x = 0.497314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 989 ÷ 212
    989 ÷ 4096     		y = 0.241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.00537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01687379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241455078125 × 2 - 1) × π
    0.51708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.62448565432446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01687379} λ = -0.01687379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62448565432446))-π/2
    2×atan(5.07580764594621)-π/2
    2×1.37627454257694-π/2
    2.75254908515387-1.57079632675     		φ = 1.18175276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01687379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18175276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.709446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2037 KachelY 989 -0.01687379 1.18175276 -0.966797 67.709446
    Oben rechts KachelX + 1 2038 KachelY 989 -0.01533981 1.18175276 -0.878906 67.709446
    Unten links KachelX 2037 KachelY + 1 990 -0.01687379 1.18117050 -0.966797 67.676085
    Unten rechts KachelX + 1 2038 KachelY + 1 990 -0.01533981 1.18117050 -0.878906 67.676085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18175276-1.18117050) × R
    0.000582260000000057 × 6371000     		dl = 3709.57846000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18175276-1.18117050) × R
    0.000582260000000057 × 6371000     		dr = 3709.57846000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01687379--0.01533981) × cos(1.18175276) × R
    0.00153398 × 0.379303627630067 × 6371000     		do = 3706.92926257396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01687379--0.01533981) × cos(1.18117050) × R
    0.00153398 × 0.37984231232963 × 6371000     		du = 3712.19382091364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18175276)-sin(1.18117050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379303627630067-0.37984231232963)×R²
    abs(-0.01533981--0.01687379)×0.000538684699563141×R²
    0.00153398×0.000538684699563141×6371000²
    0.00153398×0.000538684699563141×40589641000000     		ar = 13760909.9800763m²