Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2037 / 2157
↖ ↑ ↗
← N 78.712016°
W135.241699°		 ← 478.25 m → N 78.712016°
W135.219726°		 →
↑
478.33 m
↓
↑
478.33 m
↓
N 78.707714°
W135.241699°		 ← 478.43 m →
228 806 m²		 N 78.707714°
W135.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124359130859375 y=0.131683349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124359130859375 × 214)
    floor (0.124359130859375 × 16384)
    floor (2037.5)     		tx = 2037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131683349609375 × 214)
    floor (0.131683349609375 × 16384)
    floor (2157.5)     		ty = 2157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2037 / 2157 ti = "14/2037/2157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2037/2157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2037 ÷ 214
    2037 ÷ 16384     		x = 0.12432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2157 ÷ 214
    2157 ÷ 16384     		y = 0.13165283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.7513427734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.36041294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13165283203125 × 2 - 1) × π
    0.7366943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31439351365631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36041294} λ = -2.36041294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31439351365631))-π/2
    2×atan(10.1187841529892)-π/2
    2×1.47229008362475-π/2
    2.9445801672495-1.57079632675     		φ = 1.37378384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36041294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37378384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.712016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2037 KachelY 2157 -2.36041294 1.37378384 -135.241699 78.712016
    Oben rechts KachelX + 1 2038 KachelY 2157 -2.36002944 1.37378384 -135.219726 78.712016
    Unten links KachelX 2037 KachelY + 1 2158 -2.36041294 1.37370876 -135.241699 78.707714
    Unten rechts KachelX + 1 2038 KachelY + 1 2158 -2.36002944 1.37370876 -135.219726 78.707714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37378384-1.37370876) × R
    7.50800000000051e-05 × 6371000     		dl = 478.334680000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37378384-1.37370876) × R
    7.50800000000051e-05 × 6371000     		dr = 478.334680000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36041294--2.36002944) × cos(1.37378384) × R
    0.00038349999999987 × 0.195740486722748 × 6371000     		do = 478.248522789064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36041294--2.36002944) × cos(1.37370876) × R
    0.00038349999999987 × 0.195814113803233 × 6371000     		du = 478.428414251831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37378384)-sin(1.37370876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195740486722748-0.195814113803233)×R²
    abs(-2.36002944--2.36041294)×7.36270804852224e-05×R²
    0.00038349999999987×7.36270804852224e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.36270804852224e-05×40589641000000     		ar = 228805.878378492m²