Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2037 / 2156
↖ ↑ ↗
← N 78.716316°
W135.241699°		 ← 478.07 m → N 78.716316°
W135.219726°		 →
↑
478.14 m
↓
↑
478.14 m
↓
N 78.712016°
W135.241699°		 ← 478.25 m →
228 628 m²		 N 78.712016°
W135.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124359130859375 y=0.131622314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124359130859375 × 214)
    floor (0.124359130859375 × 16384)
    floor (2037.5)     		tx = 2037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131622314453125 × 214)
    floor (0.131622314453125 × 16384)
    floor (2156.5)     		ty = 2156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2037 / 2156 ti = "14/2037/2156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2037/2156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2037 ÷ 214
    2037 ÷ 16384     		x = 0.12432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2156 ÷ 214
    2156 ÷ 16384     		y = 0.131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.7513427734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.36041294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131591796875 × 2 - 1) × π
    0.73681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31477700885327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36041294} λ = -2.36041294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31477700885327))-π/2
    2×atan(10.1226654022836)-π/2
    2×1.47232760933617-π/2
    2.94465521867234-1.57079632675     		φ = 1.37385889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36041294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37385889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.716316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2037 KachelY 2156 -2.36041294 1.37385889 -135.241699 78.716316
    Oben rechts KachelX + 1 2038 KachelY 2156 -2.36002944 1.37385889 -135.219726 78.716316
    Unten links KachelX 2037 KachelY + 1 2157 -2.36041294 1.37378384 -135.241699 78.712016
    Unten rechts KachelX + 1 2038 KachelY + 1 2157 -2.36002944 1.37378384 -135.219726 78.712016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37385889-1.37378384) × R
    7.50499999999654e-05 × 6371000     		dl = 478.14354999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37385889-1.37378384) × R
    7.50499999999654e-05 × 6371000     		dr = 478.14354999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36041294--2.36002944) × cos(1.37385889) × R
    0.00038349999999987 × 0.195666887958985 × 6371000     		do = 478.068700511936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36041294--2.36002944) × cos(1.37378384) × R
    0.00038349999999987 × 0.195740486722748 × 6371000     		du = 478.248522789064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37385889)-sin(1.37378384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195666887958985-0.195740486722748)×R²
    abs(-2.36002944--2.36041294)×7.35987637629221e-05×R²
    0.00038349999999987×7.35987637629221e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.35987637629221e-05×40589641000000     		ar = 228628.456145062m²